Matura Maturzysta: Matura rozszerzona 2016 Udowodnij, że jeśli x²+y²= 2 i x i y są dodatnie i należą do R, to x+y<=2

karobert: x=√2−y² √2−y² + y ≤ 2 √2−y² ≤ 2 − y |² 2−y²≤4−4y+y² ..... y² − 2y + 1 ≥ 0 (y − 1)² ≥ 0 to kończy dowód

Jack: Lepsze byloby takie : x + y ≤ 2 //()² x² + y² + 2xy ≤ 4 x² + y² + 2xy ≤ 2x² + 2y² (bo 2= x²+y²) x² + y² − 2xy ≥0 (x−y)² ≥0 C.n.u

Jack: Nie wiem czy w rozwiazaniu karoberta nie ttzeba komentarza Bo 2−y moze byc ujemne... Wg mnie teoxhe ryzykowne jesli bez komentarza

karobert: no. lepsze. i też działa

karobert: nie może być ujemne z założenia, ale masz rację, komentarz by się przydał

mat: Ja proponuje tak rysujesz okrag. Pokazujesz ze ma jeden punkty wspolny z prosta, czyli prosta jest do okregu styczna. Pozostala czesc okrego poza jednym punktem niegdzie nie przecina juz prostej i lezy calkowicie pod nia. Co potwierdza dla wszystkich punktow nalezacych do tego okrego

Adam:

	x2+y2		x2+y2
x2+y2= 2 ⇒		=1 ⇒ √		=1 − średnia kwadratowa
	2		2

	x+y
x+y<=2 ⇒		<=1
	2

x+y
	− średnia arytmetyczna
2

x+y		x2+y2
	<=√		=1 c.n.d
2		2

(Średnia arytmetyczna jest mniejsza lub rowna sredniej kwadratowej)

ZKS: Najprościej w świecie (x − y)² ≥ 0 x² + y² ≥ 2xy 2(x² + y²) = 2 • 2 = 4 ≥ (x + y)² ⇒ 2 ≥ x + y Jest dziwna mania pisania c.n.u tam gdzie nie powinno tego być, u Adama jest w porządku. Czy na pewno do udowodnienia było (x − y)² ≥ 0 bądź (y − 1)²? Chyba, nie. Należało przecież udowodnić x + y ≤ 2.

Jack: https://matematykaszkolna.pl/forum/325758.html

ZKS: Nie chodzi mi, że jest to źle przeprowadzony dowód tylko słowo c.n.u oznacza co należało udowodnić, a udowodnić przecież nie mieliśmy (x − y)² ≥ 0. Na maturze ten dowód będzie na pewno na maks ilość punktów, ale komentarz powinien być trochę inny. (x − y)² ≥ 0 wyrażenie to jest spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną oraz wszystkie przekształcenie były wykonane równoważnie, zatem nierówność x + y ≤ 2 jest prawdziwa.