całka nieoznaczona flake:

	1
∫		dx
	ex+5

bardzo prosze o pomoc, po wielu próbach nadal wynik różni się od poprawnego

ICSP:

	ex		dt
= ∫		dx = | t = ex| = ∫		= ...
	ex(ex + 5)		t(t + 5)

flake: dzięki!

jc:

	1		1		(ex + 5) − ex
∫		dx =		∫		dx
	ex+5		5		ex+5

	1		ex		1
=		∫[1 −		]dx =		[x − ln(ex+5) ]
	5		ex+5		5

flake: a coś takiego? ∫xln(2x+5)dx

Jerzy: Przez części... x = v'

flake:

	x2(ln(2x+5))		x2
wiem, że przez część ale później wychodzi coś takiego		− ∫		dx i
	2		2x+5

nie wiem jak to można przekształcić

flake: bo przez podstawienie nie wychodzi dt/t

Jerzy: Popraw całkę

flake: nie mam pojęcia gdzie może być bład...

zef: Do tego momentu jest przecież dobrze

Jerzy: W liczniku x³

Jerzy: Sorry..mój błąd

Jerzy: Podziel licznik przez mianownik

zef: Mamy:

x2(In(2x+5))		x2
	−∫		dx i teraz zajmuję się tylko 2 całką
2		2x+5

Dzielę najpierw 0,5x __________ x²:(2x+5) −x²−2,5 ________ −2,5

	x2
Czyli		=0,5x(2x+5)
	2x+5

Więc masz całkę

	0,5x(2x+5)		2,5x
∫		dx−∫		dx
	2x+5		2x+5

flake: okey, dziękuję

zef:

	x2
∫0,5xdx=0,5∫xdx=
	4

druga całka

	2,5x
∫		dx
	2x+5

	(2x+5)*1,25−6,25
∫		dx
	2x+5

	(2x+5)*1,25		6,25
∫		dx − ∫		dx
	2x+5		2x+5

	6,25
1,25x−∫		dx
	2x+5

2 całka przez podstawienie 2x+5=t /// d/dx 2=dt/dx 2dx=dt dx=dt/2

	6,25
−∫		dx=
	2x+5

	dt
−0,5*6,25∫
	t

3,125In|t|= 3,125In|2x+5| Skończone, pozbieraj wszystkie wyniki z moich postów i powinno być ok.

flake: wow, własnie ta druga z dzielenia była trochę problemowa ale teraz już ogarniam czyli śmiało można twardo dzielić, dzielić i dzielić Dziękuję bardzo!

zef: Nie ma sprawy, mam nadzieję że nigdzie nie zrobiłem błędu

flake:

	x3		x
a jeśli mam ∫		to będzie tak wyglądała po podzieleniu ∫(x2−x)dx + ∫		?
	x+1		x+1

zef: Dzielisz tak jak zwykły wielomian x² ________ x³:(x+1) −x³−x² _________ −x² x²(x+1)−x² Czyli całka

	x2(x+1)−x2
∫		dx
	x+1

	x2
∫x2dx−∫		dx
	x+1

flake: to przecież takie łatwe, ale... dzięki

zef:

x3		x2
	−∫		dx
3		x+1

	x2
−∫		dx
	x+1

x _______ x²:x+1 −x²−x ______ −x x(x+1)−x

	x(x+1)−x
−∫		dx
	x+1

	x
−(∫xdx−∫		dx)
	x+1

	x2		x+1−1
−(		−∫		dx)
	2		x+1

	x2		x+1−1
−(		−∫		dx)
	2		x+1

	x2		−1
−(		−∫		dx−x)
	2		x+1

	x2		1
−(		+∫		dx−x)
	2		x+1

	x2
−(		+In|x+1|−x)
	2

x3		x2
	−		−In|x+1|+x
3		2

W razie problemów rozwiązałem ci ten przykład.

flake: czyli wychodzi tez na to, że nie można jednocześnie zrobić tak jakby dzielenia dwa razy w jednym słupku tylko każdy etap osobno i stąd nie zgodziło się to co wcześniej pisałam chyba, tak czy tak dziękuję raz jeszcze

flake: a jeszcze taki typ jak się za to wziąć?

	x2
∫
	√x2+7

Jerzy: Podstawienie Eulera

zef: Jerzy mógłbyś rozwiązać ten przykład z "podstawieniem Eulera" bo o tym nie słyszałem jeszcze

ICSP: podstawienie x = √7sh(t).

flake: Właśnie próbował to ktoś rozwiązać? Próbuje ale nie chce wyjsć i zero pewności ze to może byc dobrze, wiec jeśli ktoś jest w stanie to wytłumaczyć byłabym wdzięczna

Jerzy: I podstawienie Eulera: podstawiasz: √x² +7 = t − x

	t2−7
x2 + 7 = t2 −2tx + x2 ⇔ x =
	2t

	2t*2t − 2(t2 − 7)		t2 +7
dx =		⇔ dx =
	4t2		2t2

i teraz popodstawiaj wszystko do całki

Mariusz: Podstawienia Eulera Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx a>0 √ax²+bx+c=t−√ax ax²+bx+c=t²−2√axt+ax² bx+c=t²−2√axt 2√axt+bx=t²−c x(2√at+b)=t²−c

	t2−c
x=
	2√at+b

	2√at2+bt−√at2+√ac
t−√ax=
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
√ax2+bx+c=
	2√at+b

	2t(2√at+b)−2√a(t2−c)
dx=		dt
	(2√at+b)2

	√at2+bt+√ac
dx=2		dt
	(2√at+b)2

	t2−c		√at2+bt+√ac		√at2+bt+√ac
∫R(		,		)2		dt
	2√at+b		2√at+b		(2√at+b)2

=∫R₁(t)dt a<0 Tutaj możesz założyć że Δ=b²−4ac>0 w przeciwnym razie trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem będzie przyjmował tylko wartości ujemne (nie bawimy się zespolonymi) √ax²+bx+c=(x−α)t √a(x−α)(x−β)=(x−α)t a(x−α)(x−β)=(x−α)²t² a(x−β)=(x−α)t² ax−aβ=xt²−αt² ax−xt²=aβ−αt² x(a−t²)=aβ−αt²

	aβ−αt2
x=
	a−t2

	aβ−aα+aα−αt2		β−α
x=		=a+a
	a−t2		(a−t2)

	(β−α)t
(x−α)t=a
	(a−t2)

	(β−α)t
√ax2+bx+c=a
	(a−t2)

dx=(aβ−aα)(−1)(a−t²)⁻²(−2t)dt

	(β−α)t
dx=2a		dt
	(a−t2)2

	aβ−αt2		(β−α)t		(β−α)t
∫R(		,a		)2a		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

=∫R₃(t)dt Jest jeszcze jedno podstawienie Eulera (z wyrazem wolnym trójmianu kwadratowego) jednak powyższe dwa wystarczą aby sprowadzić całkę postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx do całki z funkcji wymiernej

Mariusz: zef nie ćwiczyliśmy podstawień Eulera bo chciałem abyś najpierw opanował całkowanie funkcji wymiernych 1 Stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika Dzielisz licznik przez mianownik

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. Mianownik posiada pierwiastki wielokrotne (Jeśli mianownik nie jest rozłożony na czynniki nierozkładalne nad R to najlepiej to sprawdzić licząc NWD mianownika i jego pochodnej)

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych 3 Gdy nie zajdzie jeden z powyższych przypadków Rozkładamy całkę na sumę całek Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k)* (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		+
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
∫		+∫
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫
	x2+pmx+qm

Mariusz: Jeżeli mamy dany rozkład mianownika na czynniki to podczas liczenia NWD(M(x),M'(x)) korzystamy z niego (wtedy do mianownika pod całką bierzemy tylko po jednym czynniku a resztę czynników zostawiamy w mianowniku części wymiernej) Jeżeli nie mamy danego rozkładu mianownika na czynniki to lepiej NWD(M(x),M'(x)) znaleźć wykonując kolejne dzielenia z resztą NWD można także wykorzystać do upewnienia się czy można skrócić licznik z mianownikiem i wtedy lepiej go liczyć wykonując kolejne dzielenia z resztą Po wykonaniu dzielenia w punkcie pierwszym stopień licznika powinien być mniejszy niż stopień mianownika Powyższy schemat całkowania funkcji wymiernych ma tą zaletę że opóźnia rozkład mianowmika na czynniki a w pewnych szczególnych przypadkach pozwala go uniknąć Rozkład na czynniki wielomianu stopnia większego niż cztery wymaga funkcji nieelementarnych

zef: Mariusz możesz mi podać przykłady jakiś całek do rozwiązania ? 323858