Całeczki zef: Mógłby mi ktoś sprawdzić moją całkę ? ∫6x⁴e^xdx=6∫x⁴e^xdx=6∫x⁴(e^x)'dx=6(x⁴e^x−∫4x³e^xdx)=6x⁴e^x−24∫x³e^x= 6x⁴e^x−24∫x³(e^x)'dx=6x⁴e^x−24(x³e^x−∫3x²e^xdx)=6x⁴e^x−24x³e^x+72∫x²(e^x)'dx= 6x⁴e^x−24x³e^x+72(x²e^x−∫2x(e^x)'dx)=6x⁴e^x−24x³e^x+72x²e^x−72∫2x(e^x)'= 6x⁴e^x−24x³e^x+72x²e^x−144∫x(e^x)'dx=6x⁴e^x−24x³e^x+72x²e^x−144(xe^x−e^x)= 6x⁴e^x−24x³e^x+72x²e^x−144xe^x+144e^x

Jerzy: Jaki problem ... policz pochodną i zobaczysz

zef: No teraz z tego liczyć pochodną to bardzo długo zajmie :<

Jerzy: niekoniecznie, bo e^x wyłaczysz przed nawias

zef: 6[(e^x)(x⁴−4x³+12x²−24x+24)]' 6[e^x(x⁴−4x³+12x²−24x+24)+(e^x)(4x³−12x²+24x−24)] 6[e^x(x⁴−4x³+12x²−24x+24+4x³−12x²+24x−24)] 6[e^x(x⁴)] 6e^xx⁴ Uff, nawet się zgadza, czyli dobrze

Jerzy: a nie mówiłem,że nie taki diabeł straszny....

zef: ∫e^xcos4xdx=∫e^x(1/4sin4x)'dx Może mi ktoś to wyjasnić ? Rozumiem że cos4x=(1/4sin4x)' P=1/4(sin4x)' P=1/4(cos4x) Hmm co jest nie tak ?

Jerzy: e^x = v' u = cos4x

	1
ex = v u' = −		sinx
	4

Jerzy:

	1		1
(		sin4x)' =		*4cos4x = cos4x
	4		4

Jerzy:

	1
tam popraw.... u' = −		sin4x
	4

zef: (cos4x)'=−1/4sinx nie rozumiem jak z tego pochodna wynosi tyle ?

Jerzy: upss,,, jeszcze lepiej ma być oczywiscie: u = cos4x i u' = −4sin4x

Jerzy: sorry... poprawiłem ..... myślałem o calkowaniu

zef: 2292 Chodzi mi o te pierwsze przekształcenie

Jerzy: Napisałem 18:04

zef: A czy (sin4x)'=cos4x ?

zef: (sin4x)'=4cos4x*1/4=cos4x Dobra już mam, nie wiem o czym myślałem wcześniej

Jerzy: nie , to funkcja złożona, więc jej pochodna , to: 4*cos4x

Mariusz:

	1		1
∫excos(4x)dx=		exsin(4x)−		∫exsin(4x)dx
	4		4

	1		1		1		1
∫excos(4x)dx=		exsin(4x)−		(−		excos(4x)+		∫excos(4x)dx)
	4		4		4		4

	1		1		1
∫excos(4x)dx=		exsin(4x)+		excos(4x)−		∫excos(4x)dx
	4		16		16

17		1		1
	∫excos(4x)dx=		exsin(4x)+		excos(4x)
16		4		16

	4		1
∫excos(4x)dx=		exsin(4x)+		excos(4x)+C
	17		17

zatem Jerzy, z tego co zauważyłem to funkcja trygonometryczna miała być całkowana chociaż można też liczyć tak jak ty pokazałeś

Jerzy: Zgadza się , widziałem, ale wskazałem mu prostszą drogę

zef:

	6x3
∫
	(2x−3)2

t=2x−3

dt
	=2
dx

2dx=dt dx=dt/2

	x3
6∫
	(2x−3)2

	dt/2
6∫
	(t)2

	dt
3∫
	t2

3∫t⁻²dt

	t−1
3*
	−1

−3t⁻¹

	1
−3*
	t

	1
−3*
	2x−3

−3
2x−3

Zerknie ktoś ?

ICSP: a x³ magicznym sposobem się wyteleportowało do innej galaktyki ?

zef: Ano racja zgubiłem

Mariusz: A co z licznikiem ? Tutaj można też było liczyć przez części

−2

−3x3

1

12x2−27

27

2

∫(−3x3)

dx=

+

∫

+

∫

dx

(2x−3)2

2x−3

2

2x−3

4

2x−3

	−2		−3x3		3		27
∫(−3x3)		dx=		+		∫(2x+3)dx+		ln|2x−3|
	(2x−3)2		2x−3		2		4

	−2		−3x3		3		27
∫(−3x3)		dx=		+		(x2+3x)+		ln|2x−3|+C
	(2x−3)2		2x−3		2		4

Mariusz: Zdaje się że pomyliłem się podczas różniczkowania , ale scałkowanie przez części i skorzystanie z wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów powinno doprowadzić do wyniku

zef: Jakaś fajna całka do policzenia przez części, ma ktoś ?

ZKS: To ja Ci dam coś takiego na pomyślenie.

	1		1		1		x		1
∫		dx = ∫ (1 •		)dx = ∫ [(x)' •		]dx = 1 − ∫ −		dx = 1 + ∫		dx
	x		x		x		x2		x

Teraz odejmujemy stronami i dostaniemy 0 = 1? Gdzie jest błąd?

ICSP: 1 można wrzucić do stałej całkowania.

zef:

	1
Hmm nie wiem ale przecież ∫		dx=In|x|
	x

ZKS: ICSP ∫ 0dx = C dużo ludzi o tym zapomina.

Benny: Nigdzie nie ma błędu. 0=1 z dokładnością co do stałej

zef: Ja tu się uczę dopiero całek i teraz się dowiaduję że 0=1 i to nie jest błąd

Benny:

	xln(x+√1+x2)
∫		dx
	√1+x2

	xarcsinx
∫		dx
	√1−x2

ZKS: zef chodzi o to, że dostaniesz ∫ 0dx = 1, bo 1 jest stałą całkowania.

zef: ∫0dx=15 rozumiem że też by mogło być Benny ja to raczej myślałem o takich podstawowych całkach a tutaj trzeba się bawić pewnie z podstawieniem którego nie umiem :<

Jerzy:

	ex − e−x
Policz taką:∫		dx
	ex + e−x

Benny: Nie trzeba podstawień. Wziąłem z zadanek na policzenie przez części.

Jerzy: Acha .... i nie przez części

zef:

	xarcsinx		x(1√1−x2)'
∫		=∫		i najchętniej bym to skrócił ale nie
	√1−x2		√1−x2

mogę, więc nawet tego nie wiem jak zacząć :< Jerzy a twoją całkę trzeba przez podstawienie ?

Jerzy: Nie..to całka na spostrzegawczość

Benny: @zef policz pochodna √1−x²

ZKS:

	x2
∫		dx
	(x2 + 1)2

zef: Jerzy a czy mi się to wszystko nie poskraca przypadkiem ? pochodna √1−x²=

−2		1
	=−
2√1−x2		√1−x2

Benny: źle pochodna

Jerzy: Nie...kombinuj dalej

zef: tam zamiast jedynki w mianowniku to x

zef: Zaryzykuje i sprobuje przez podstawienie

	x2		x		x
∫		dx=∫		dx * ∫		dx p.s nie wiem czy tak można
	(x2+1)2		x2+1		x2+1

x²+1=t / d/dx 2x=dt/dx 2xdx=dt xdx=dt/2

	dt
1/2∫		=1/2In|t|=(1/2In|x2+1|)(1/2In|x2+1|)
	t

zef: @Jerzy e^2x−e^−2x ?

Benny: Nie można tak robić z całkami Czy jak masz tego iksa w liczniku to czegoś nie widzisz?

zef: Teraz już chyba nic mądrego nie wymyślę, jak poprawiając błąd pomyliłem licznik z mianownikiem

ZKS:

Jerzy: Zauważ, że licznik jest pochodną mianownika, a więc.....

zef: In|e^x+e^−x|+C ZKS mógłbyś rozwiązać tą całkę co podałeś ?

Benny:

	1
(		)'=?
	x2+1

zef:

−2x
(x2+1)2

Benny: Czy nie masz czegoś podobnego w całce?

zef: Na dzisiaj mi już wystarczy (i tak teraz nic nie wymyślę :<) Spróbuję jeszcze jutro poćwiczyć może coś załapię Dzięki panowie za pomoc.

ZKS: Podstawiam za x = tg(u) ⇒ dx = [tg²(u) + 1]du i dostaję

	tg2(u)[tg2(u) + 1]		tg2(u)
∫		du = ∫		du
	[tg2(u) + 1]2		tg2(u) + 1

Dalej to chyba proste.

ZKS: Chyba, że chcesz koniecznie przez części, to też się da.

Benny: ZKS z takiego działa?

	1		−2x
−		∫		*xdx
	2		(1+x2)2

ZKS: Działa, działa zaraz napiszę.

Benny: Działo jako broń

ZKS: Myślałem, czy z tego będzie działać.

Mariusz: zef weź sobie wzór na pochodną iloczynu i scałkuj go sobie

	x	(−2x)		1	x		1		dx
∫−			dx=−			+		∫
	2	(1+x2)2		2	(1+x2)		2		1+x2

	1	x		1
=−			+		arctan(x)+C
	2	(1+x2)		2

Jak się dopiero uczy to lepiej teraz mu nie mieszać podstawieniami skoro najpierw chce poćwiczyć całkowanie przez części

Mariusz: Jak będziesz ćwiczył całkowanie funkcji wymiernych to taki schemacik może ci się przydać 1. Stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika deg(L(x))≥deg(M(x)) Dzielisz licznik przez mianownik

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. Mianownik posiada pierwiastki wielokrotne gcd(M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=gcd(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) GCD obliczysz albo korzystając z rozkładu na czynniki (gdy mianownik masz już na wejściu rozłożony na czynniki) albo wykonując kolejne dzielenia i biorąc resztę czyli korzystając z algorytmu Euklidesa (gdy mianownik nie jest rozłożony na czynniki) Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) obliczysz korzystając z metody współczynników nieoznaczonych zakładając że stopień licznika jest o jeden mniejszy niż stopień mianownika 3. Stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika oraz mianownik nie posiada pierwiastków wielokrotnych (mogą być parami sprzężone zespolone) Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)* *(x−a_k)(x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)* *(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+ +∫		dx
	M2		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx+
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+∫		dx
	x2+pmx+qm

Jednak to dopiero przyszłość na razie przejrzyj zbiory zadań aby poćwiczyć całkowanie przez części a później przez podstawienie Całki trzeba tak ułożyć aby całkowanie przez części nie prowadziło do podstawień a gdy będziesz ćwiczył podstawienia to nie powinny one na razie prowadzić do całek z funkcji wymiernych Całki które możesz policzyć przez części ∫cos²(x)dx ∫√1−x²dx

Mariusz: *

	B1x+C1
∫		dx
	x2+p1x+q1

Sprowadzasz mianownik do postaci kanonicznej

	p   B1p   B1(x+ )+C1−   2   2
∫		dx
	p   p2   (x+ )2+(q− )   2   4

i tutaj przydaje się podstawienie więc zanim zaczniesz całkować funkcje wymierne poćwicz sobie całkowanie przez podstawienie na jakichś łatwych przykładach

Mariusz: Podczas całkowania funkcji wymiernych korzystasz głównie z liniowości całki ale dwa podstawienia będą przydatne u=t²+1

	p		p2
(x+		)=(√q−		)t
	2		4

Do funkcji wymiernych możesz sprowadzić całki ∫R(x,√ax²+bx+c)dx I √ax²+bx+c=t−√ax a>0 III √ax²+bx+c=(x−x₀)t b²−4ac>0 , gdy a<0 możesz przyjąć że b²−4ac>0 II √ax²+bx+c=xt+√c c>0 , mimo iż pierwsze i trzecie podstawienie wystarczy do sprowadzenia tych całek do całek z funkcji wymiernej to czasami wygodniej jest zastosować drugie podstawienie ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx

	r
Niech p=
	s

m+1
	∊ ℤ
n

t^s=a+bxⁿ

m+1
	+p ∊ ℤ
n

	a+bxn
ts=
	xn

∫R(sin(x),cos(x))dx

	x
np t=tan(		)
	2

∫R(e^cx)dx , do tych całek sprowadzają się także całki ∫R(sinh(x),cosh(x))dx t=e^cx

zef: Co do postu z 23:10 O co chodzi z tym podstawieniem tg za x ? Może mi ktoś wyjaśnić po co się to robi i kiedy używa ?

Benny:

	t
Ktoś sobie wymyślił, że podstawienia x=tgt, x=tg		często upraszczają liczenie. Czasem
	2

szybciej można policzyć stosując inne podstawienia. Po przeliczeniu nawet parunastu całek będziesz zauważał co warto podstawić choć nie zawsze uda się za pierwszym razem policzyć

Mariusz: Tę całkę to akurat wygodniej przez części policzyć Oczywiście możesz też skorzystać ze schemaciku który podałem Benny ten ktoś to amerykańcy a wy teraz ulegacie tej modzie

zef: Jak liczyć całki przez części jak są ułamkiem ?

Mariusz: zef to podstawienie jest niepotrzebne

	dx
Całkę ∫		policzysz korzystając ze wzoru redukcyjnego
	(x2+1)n

bądź ze schemaciku który podałem Całki ∫R(x,√ax²+bx+c)dx sprowadzisz do całek z funkcji wymiernej podstawieniami √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=(x−x₀)t

Mariusz: zef spójrz na wpis 21 kwietnia 03:23

zef: No tego właśnie nie rozumiem :< Wyjaśnisz to na jakimś prostszym przykładzie ?

Mariusz: Na początek przypomnijmy wzorek na całkowanie przez części bo miałeś z tym problemy (uv)'=u'v+uv' ∫(uv)'=∫u'vdx+∫uv'dx uv=∫u'vdx+∫uv'dx ∫u'vdx=uv−∫uv'dx

	x2
∫		dx
	(1+x2)2

Ze wzorów na pochodną (pochodna potęgi oraz pochodna złożenia)

	1		1		2x
wiesz że (		)'=−		(2x)=−
	1+x2		(1+x2)2		(1+x2)2

	x2
stąd pomysł aby całkę ∫		dx rozdzielić na następujące części
	(1+x2)2

	(−x)	(−2x)
∫			dx
	2	(1+x2)2

Kolejny przykład Mamy całkę ∫√1−x²dx Tutaj wygodniej ci będzie przyjąć du=dx , v=√1−x²

	x
u=x , dv=−
	√1−x2

Po scałkowaniu przez części trzeba będzie jeszcze skorzystać z tego że

	1−x2
√1−x2=		dx
	√1−x2

Kolejny przykład ∫cos²(x)dx=∫cos(x)cos(x)dx Tutaj po scałkowaniu przez części trzeba będzie jeszcze z jedynki trygonometrycznej skorzystać

ZKS:

	cos(2x) + 1
Przez części niepotrzebnie cos2(x) =		.
	2

zef: Chyba już wiem jak to przez części policzyć

	x2
∫		dx=∫x2(x2+1)−2dx=
	(x2+1)2

	x3
∫(x33)'(x2+1)−2dx=		*(x2+1)−2−∫x33*[−2(x2+1)−1*2x]dx=
	3

x3
	−∫x33*[−4x(x2+1)−1]dx
3(x2+1)2

x3		1
	−∫x33*[		]
3(x2+1)2		−4x(x2+1)

x3		x3
	−∫		dx
3(x2+1)2		−12x(x2+1)

x3		1		x3
	+		∫		dx
3(x2+1)2		12		x3+x

x3		1		x3
	+		∫		dx I tutaj nie wiem jak rozbić dalej całkę :<
3(x2+1)2		12		x3+x

Mariusz: ZKS tu nie chodzi o to jak to można policzyć tylko o przećwiczenie całkowania przez części Pomysł który podałeś przestaje być wygodny gdy będziemy mieć trochę większą potęgę poza tym wymaga zapamiętania dodatkowej tożsamości

	1
To nie tak , gdy będziesz różniczkował ułamek		to potęga w mianowniku
	(x2+1)2

ci się zwiększy i do niczego sensownego nie dojdziesz Musisz więc ten ułamek całkować , ułamek ten jest jednak funkcją złożoną dlatego

	−2x		1
całkujesz ułamek		zamiast
	(x2+1)2		(x2+1)2

ZKS: Nie no nie przesadzajmy wzór na liczenie przez części też zapamiętujesz, tak jak każdą pochodną czy całkę, dodatkowo jest to jedna z podstawowych tożsamości cos(2x) = 2cos²(x) − 1 i odpowiedniemu jej przekształceniu.

Mariusz: W przypadku większej potęgi wg mnie lepiej jest wyprowadzić wzór redukcyjny i korzystając z niego od razu wypisać całkę

ZKS: Zgadzam się z Tobą, ale tylko w przypadku większej potęgi, kiedy mamy taką ja zapisałeś nie ma potrzeby obciążać głowę tymi sposobami. Tak jest moje zdanie. Oczywiście chyba, że ktoś musi koniecznie tak robić.

zef: Macie jeszcze coś do policzenia przez części ? Albo przez podstawienie ale normalne a nie z tangensami

ZKS: Dla mnie jedno z lepszy podstawień, ale Mariusz jest przeciwnikiem tego podstawienia.

Mariusz: Przez podstawienie

3x+7
x2+6x+13

wsk Sprowadź mianownik do postaci kanonicznej i zastosuj takie podstawienie aby w mianowniku otrzymać t²+1

zef:

3x+7
x2+6x+13

Δ=−16 p=−3 q=4 mianownik=(x+3)²+4 (x+3)(x+3)+3+1 I jak dalej :<

Mariusz: (x+3)²+4 − To już jest w postaci kanonicznej Podstawienie x+3=2t Zróżniczkuj je obustronnie aby otrzymać dx i wstaw do całki

zef: x+3=2t / d/dx 1=2dt/dx dx=2dt I właśnie tych podstawień także nie rozumiem

Jerzy:

	3
3x + 7 =		(2x +6) − 2
	2

	3		2x +6		1
... =		∫		dx − 2∫		dx
	2		x2 + 6x +13		(x+3)2 + 4

pierwsza już wiesz jak ... drugą steruj do: arctgx

zef: Mając całkę

	2x+6
3/2∫		dx
	x2+6x+13

2t=x+3

	4t
3/2∫		dx
	4t2+4

Jedynie coś takiego mi do głowy przychodzi

Mariusz: zef 3x+7=3(x+3)−2 dx=2dt

	3*2t−2		12t−4
∫		(2dt)=∫		dt
	4t2+4		4t2+4

	3t		1
∫		dt−		dt
	t2+1		t2+1

	3t
∫		dt
	t2+1

u=t²+1 du=2tdt

	1
tdt=		du
	2

3		du
	∫
2		u

3
	ln|u|+C1
2

3
	ln|t2+1|−arctan(t)+C
2

3		x2+6x+13		x+3
	ln|		|−arctan(		)+C
2		4		2

Kolejna całeczka

	4x+5
∫		dx
	x2−4x+29

Mariusz: zef dobrze jeszcze możesz kolejne podstawienie zastosować (za cały mianownik)

Jerzy: W pierwszej całce licznik jest pochodną mianowniks, a to znasz

zef: Dziękuję bardzo za cierpliwość Wydaje mi się, że trochę zaczynam łapać, ale mam pytanie jak dobierać "t" ? Skąd wziąłeś 2t=x+3, rozumiem że dobiera się to tak żeby wygodniej się liczyło

Mariusz: No właśnie nie wiadomo czy zna , to jego początki z całkowaniem i nie wiadomo czy to już zauważył

Mariusz:

	1
Zauważ że pochodna arcusa tangensa to
	1+x2

i chodzi o to aby sprowadzić mianownik do takiej postaci Tutaj pomocna jest postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

ZKS: Tak dobierasz, abyś mógł wyciągnąć tę samą liczbę i mógł zastosować wzór. (x + b)² + a musisz tak dobrać, aby (x + b)² = au² ⇒ x + b = √au, ponieważ (√au)² + a = au² + a = a(u² + 1)

zef:

	4x+5
∫		dx
	x2−4x+29

Δ=16−116 Δ=−100 p=2 q=25 mianownik (x−2)²+25 I poprosiłbym tutaj o dobranie "t", dalej spróbuję sam :v

Mariusz:

	4x+5
∫		dx
	x2−4x+29

	8x−3
∫		dx
	x2−2x+37

	5x−8
∫		dx
	x2−14x+85

	2x+9
∫		dx
	x2−16x+73

	−6x+7
∫		dx
	x2−16x+89

	3x−2
∫		dx
	x2+4x+85

Mariusz: x−2=5t

Mariusz: Wpis ZKS z 22:25 powinien ci ułatwić wybór podstawienia

zef: x−2=5t / d/dx 1=5dt/dx dx=5dt

	4x+5
∫
	x2−4x+29

	4*5t+13
∫		(5dt)=
	25t2+25

	20t+13
∫		(5dt)
	25t2+25

	100t+65
∫		dt
	25t2+25

	100t		65
∫		dt+∫		dt
	25t2+25		25t2+25

	4t		13
∫		dt+∫		dt
	t2+1		5t2+5

t²+1=u / d/dt du/dt=2t 2tdt=du tdt=du/2 Do tego momentu mam chyba dobrze

Mariusz: Na razie dobrze

zef: No i nie wiem jak dalej :<

Mariusz: Jak będziesz w miarę sprawnie liczył te całki to przejdziemy do innych całek z funkcji wymiernej

ZKS: Pierwsza część, policz pochodną mianownika, może zobaczysz coś, druga część, wyciągnij 13 z licznika i 5 z mianownika.

zef: Tą całkę robiłem wzorując się na rozwiązanej twojej ale dalej już nie wiem skąd u ciebie przed całką pojawiło się 2/3 itd :<

Mariusz: Wstaw to co otrzymałeś do pierwszej całki , drugą zostaw w spokoju bo w niej wystarczy tylko wyciągnąć stałą

zef:

	2du		du
∫		=2∫		=2In|u|=2In|t2+1| ?
	u		u

Mariusz:

	1
W liczniku za tdt wstawiasz		du, czwórkę przepisujesz ,skracasz stałe i jak ci
	2

jakaś zostanie to wyciągasz ją przed znak całki w mianowniku wstawiasz u za t²+1

Mariusz: Tak , tyle powinno ci wyjść Koledzy proponują ci skrótowca z który później może być przydatny

zef: No pochodna mianownika to 2x−4 ale co mi to da ?

Mariusz: Zerknij na wpis z 22:34 tam masz jeszcze trochę całek do poćwiczenia

zef: Mógłbym się za nie zabrać jakbym umiał wyznaczać te "t"

Mariusz: Chodzi o to aby tak rozbić całkę na sumę całek aby w liczniku mieć pochodną mianownika pomnożoną przez jakąś stałą ale myślę że na razie wygodniej będzie najpierw sprowadzić trójmian kwadratowy z mianownika do postaci kanonicznej i zastosować podstawienie (x+p)=√qt

Mariusz: Sprowadzasz trójmian kwadratowy w mianowniku do postaci kanonicznej a następnie stosujesz podstawienie (x+p)=√qt ZKS we wpisie z 22:25 pokazał ci dlaczego to podstawienie działa

Mariusz: Dopóki nie będziesz sprawnie liczył tych całek nie przejdziemy do innych całek z funkcji wymiernych

zef: O no i teraz wiem jak wyznaczyć t z tego wzorku

	8x−3
∫
	x2−2x+37

mianownik: Δ=4−148 Δ=−144 p=1 q=36 (x−1)²+36 (x−1)=6t / d/dx 1=6dt/dx dx=6dt

	8*6t+5
∫		(6dt)
	36t2+36

	48t+5
∫		(6dt)
	36t2+36

	288t+30t
∫
	36t2+36

	8t		30t
∫		+∫
	t2+1		36t2+36

	t
8∫		dt
	t2+1

t²+1=u /d/dt 2t=du/dt 2tdt=du tdt=du/2

	du/2
8∫		=
	u

	du
4∫		=4In|u|=4In|t2+1|
	u

	30t
∫		=
	36t2+36

	t
30∫
	36t2+36

36t²+36=u / d/dt 72t=ud/dt 72tdt=ud tdt=ud/72

	ud/72
30∫
	u

30		ud		30
	∫		=		In|36t2+36|
72		u		72

Czyli odp to:

	30
4In|t2+1|+		In|36t2+36|
	72

Mariusz: W drugiej całce niepotrzebnie t się pojawiło a co za tym idzie drugiego podstawienia używasz w tej całce w której masz t w liczniku

zef: Aj racja się zakręciłem za bardzo

	30		1
∫		=30∫		dt=30In|36t2+36|
	36t2+36		36t2+36

A wyniki mam zostawić z tym "t" czy wrócić do podstawienia z samego początku że 6t=x−1 ?

Mariusz: Tak tylko że teraz nie będziesz miał logarytm tylko arctg Nie wyciągnąłeś stałej do końca , poza tym pamiętaj pochodną arctg ,

	1
(arctg(x))'=
	x2+1

Mariusz: Jak liczysz nieoznaczoną to musisz wrócić , później gdy będziesz liczył oznaczone to nie będziesz musiał wracać

zef: czyli 6t=x−1

	x−1
t=
	6

	x−1
t2+1=(		)2+1
	6

x2−2x+1
	+1
36

x2−2x+37
36

	x2−2x+37
In|t2+1|=In|		|
	36

A możesz dokończyć tą całkę

	1
30∫		dt
	36t2+36

Mariusz: Mogłeś jeszcze wyciągnąć stałą z mianownika

	1		30		1		5
30∫		dt=		∫		dt=		arctan(t)+C
	36t2+36		36		t2+1		6

zef: Dziękuję Mariusz ! Widzę że już coś zaczynam łapać, ale do liczenia całek potrzeba wprawy i doświadczenia a tego to mi brakuje Postaram się jutro rozwiązać pozostałe całki, na dzisiaj wystarczy, jeszcze raz dzięki !

jc: Całka dla Mariusza: ∫₀^2π ln(1 + x cos t) dt, oczywiście −1 < x < 1

Mariusz: Później poćwiczymy liczenie innych całek z funkcji wymiernych Skorzystamy ze schematu który napisałem 21 kwietnia o 04:19 Dobranoc

Mariusz: jc Może szeregiem z wykorzystaniem wzoru redukcyjnego Próbowałem rozbijać przedział całkowania , stosować trygonometryczne wzory redukcyjne aby znaleźć parzystość/ nieparzystość funkcji ale to nic nie dało

Mariusz: zef: na razie jeszcze masz te całki ale zanim przejdziemy dalej ciekawi mnie jeszcze co miałeś z algebry Dzielenie wielomianów z resztą ? wzory Cramera, eliminację Gaußa, odwracanie macierzy , jakiś rozkład macierzy ? chociaż od biedy wystarczy metoda podstawiania NWD wielomianów ? NWD wielomianów liczy się analogicznie jak dla liczb tutaj też można skorzystać albo z rozkładu wielomianu na czynniki albo z algorytmu Euklidesa (kolejne dzielenia z resztą)

Benny: Mariusz, zef jest bodajże w 2 liceum

Mariusz: Benny spójrz na schemat który podałem 21 kwietnia 04:19 więc aby przejść dalej z całkowaniem musi sobie przypomnieć bądź nauczyć się pewnych rzeczy z algebry (minimum to co wymieniłem, później gdy nauczy się całkować i przejdziemy do równań różniczkowych to przyda się także diagonalizacja macierzy, wartości i wektory własne , exponenta macierzy) Algebra mu się przyda na razie do całkowania funkcji wymiernych a powinien najpierw przećwiczyć całkowanie funkcji zanim przejdziemy do ćwiczenia różnych podstawień

Benny: No coś tam jest potrzebne chociaż jak ma się jakieś pojęcie o tym to nieświadomie się tego używa. Jakoś nie widziałem zastosowania do diagonalizacji macierzy poza potęgowaniem, ale jak widać się myliłem. Takie pytanie właśnie do tego. Jak mam podaną macierz M to podnosząc do potęgi n szukam macierzy diagonalnej, wektorów własnych i korzystam z tego, że A=P*D*P⁻¹, gdzie P to macierz z wektorów własnych?

Mariusz: Jak pisałem to będzie potrzebne do rozwiązywania układów równań różniczkowych, ale dla niego to dalsza przyszłość Tak diagonalizacja macierzy to znalezienie takiego rozkładu co podałeś Macierz D jest diagonalna , P macierz której kolumny są wektorami własnymi odpowiadającymi kolejnym wartościom własnym Nie zawsze można taki rozkład uzyskać Jeżeli exponentę rozwiniesz w szereg to diagonalizacja przyda ci się do jej policzenia a exponenta macierzy jest rozwiązaniem układu równań różniczkowych o stałych współczynnikach

Mariusz: Jak chcesz komuś kto zaczyna dopiero całkować pokazać jak całkować np funkcje wymierne to musisz mu przypomnieć pewne rzeczy z algebry , a jak zauważysz że ma problemy z różniczkowaniem czy liczeniem granic to powinieneś do tego wrócić

Mariusz:

	−7x+5
∫		dx
	x2+10x+41

	−6x+1
∫		dx
	x2−2x+5

	−12x+17
∫		dx
	x2+14x+53

	15x−13
∫		dx
	x2−8x+97

	−9x+11
∫		dx
	x2+14x+65

	21x+13
∫		dx
	x2−6x+25

	34x−21
∫		dx
	x2−2x+17

	13x+8
∫		dx
	x2+2x+10

	55x−34
∫		dx
	x2−12x+61

	89x+55
∫		dx
	x2−10x+34

zef: Tak, przez to że jestem dopiero w 2 liceum nie miałem wielu z tych rzeczy :< Dzielenie wielomianów mam właśnie na rozszerzeniu i rozumiem to bardzo dobrze Z macierzy miałem tylko podstawy (liczenie niewiadomych z układu z 2 niewiadomymi) NWD− na liczbach umiem, kwestia przypomnienia i kojarze jeszcze logarytm na liczenie NWD 2 liczb Zaraz zabieram się za kolejne całki.

zef:

	5x−8
∫		dx
	x2−14x+85

mianownik: p=7 q=f(p)=36 (x−7)²+36

	d
6t=x−7 /
	dx

6dt
	=1
dx

dx=6dt

	5*6t+27
∫		(6dt)
	36t2+36

	30t+27
∫		(6dt)
	36t2+36

	180t+162
∫		(dt)
	216t2+216

1		180t+162
	∫
216		t2+1

1		180t		1		162
	∫		+		∫
216		t2+1		216		t2+1

180		t		3		1
	∫		+		∫
216		t2+1		4		t2+1

	d
t2+1=u /
	dt

	du
2t=
	dt

2tdt=du

	du
tdt=
	2

180		du/2		3
	∫		+		arctan(t)
216		u		4

180		du		3
	∫		+		arctan(t)
432		u		4

180		3
	In|t2+1|+		arctan(t)
432		4

6t=x−7 //6

	x−7
t=
	6

	x2−14x+49
t2=
	36

180		x2−14x+49		3		x−7
	In|		+1|+		arctan(		)
432		36		4		6

180		x2−14x+85		3		x−7
	In|		|+		arctan(		)
432		36		4		6

Czy wynik się zgadza

zef:

	2x+9
∫		dx
	x2−16x+73

p=8 q=9 (x−8)²+9

	d
3t=x−8 /
	dx

3dt
	=1
dx

dx=3dt

	2*3t+27
∫		(3dt)
	9t2+9

	6t+27
∫		(3dt)
	9t2+9

	18t+81
∫		(dt)
	27t2+27

9		2t+9
	∫		dt
27		t2+1

1		2t+9
	∫		dt
3		t2+1

1		2t		1		9
	∫		dt +		∫		dt
3		t2+1		3		t2+1

2		t		1		9
	∫		dt +		∫		dt
3		t2+1		3		t2+1

	d
t2+1=u //
	dt

2tdt=du

	du
tdt=
	2

1		du		1		1		x2−16x+73
	∫		=		In|t2+1|=		In|		|
3		u		3		3		9

1		9		x−8
	∫		dt=3arctan(t)=3arctan(		)
3		t2+1		3

Odp to:

1		x2−16x+73		x−8
	In|		|+3arctan(		)
3		9		3

Mariusz: 2x+9=2(x−8)+25 2x+9=6t+25 No policz jeszcze parę całeczek które podałem Jak miałeś dzielenie wielomianów to dobrze , przyda ci się Co do NWD to ono działa podobnie jak na liczbach Masz dany rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne obydwu wielomianów W₁(x), W₂(x) NWD to iloczyn czynników występujących w obydwu wielomianach Np W₁(x)=(x−1)³(x−2)⁴(x²+2x+5)³(x²+4x+5)⁵ W₂(x)=(x−1)²(x−3)(x−2)⁵(x²+2x+5)⁴(x²+4x+5)³ NWD(W₁(x),W₂(x))=(x−1)²(x−2)⁴(x²+2x+5)³(x²+4x+5)³ Jeśli nie masz danego rozkładu na czynniki to wykorzystujesz dzielenie z resztą Po pierwszym dzieleniu z resztą otrzymujesz W₁(x)=Q₁(x)W₂+R₁(x) Po następnym dzieleniu z resztą otrzymujesz W₂(x)=Q₂(x)R₁(x)+R₂(x) Dzielenie wykonujesz dopóki reszta jest różna od zera Wtedy ta ostatnia niezerowa reszta jest dzielnikiem Co do rozwiązywania układów równań to zobacz sobie tutaj http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN05 Pobaw się tym znajdowaniem dzielnika (obydwoma sposobami) a także obejrzyj ten rozkład LU macierzy

Mariusz:

	30t+27
∫		(6dt)
	36t2+36

	30t+27		1		30t+27
∫		dt=		∫		dt
	6t2+6		6		t2+1

	1		30t		1		27
=		∫		dt+		∫		dt
	6		t2+1		6		t2+1

	1		30t		27
=		∫		dt+		∫		dt
	6		t2+1		6		t2+1

...

zef: Czy jesli mam

	30t+27
∫		(6dt) to mogę ją zapisać jako
	36t2+36

	30t+27
6∫		dt ?
	36t2+36

Mariusz: Tak Zauważ że z mianownika możesz wyciągnąć jeszcze 36 czyli

	1		30t+27
po wyrzuceniu stałej przed znak całki będziesz miał 6		∫		dt
	36		t2+1

zef:

	−7x+5
∫		dx
	x2+10x+41

x²+10x+41=(x+5)²+16 p=−5 q=16

	d
x+5=4t /
	dx

	4dt
1=
	dx

dx=4dt

	4t*(−7)+40
∫		(4dt)
	16t2+16

	−28t+40
∫		(4dt)
	16t2+16

	−28t+40
4∫		(dt)
	16t2+16

1		−26t+40
	∫		dt
4		t2+1

Rozbijam na 2 całki:

1		−26t		1		40
	∫		dt+		∫		dt
4		t2+1		4		t2+1

−26		t		1
	∫		dt+10∫		dt
4		t2+1		t2+1

	t
−6,5∫		dt+10arctan(t)
	t2+1

	d
t2+1=u //
	dt

	du
2t=
	dt

2tdt=du

	du
tdt=
	2

	du/2
−6,5∫		dt+10arctan(t)
	u

	du
−3,25∫		+10arctan(t)
	u

−3,25In|u|+10arctan(t)

	x+5
−3,25In|t2+1|+10arctan(		)
	4

	x2+10x+41		x+5
−3,25In|		|+10arctan(		)
	16		4

Dobrze ?

Mariusz: Literówka przy przepisywaniu

	−28t+40
4∫		dt
	16t2+16

a w następnej linijce masz

1		−26t+40
	∫		dt
4		t2+1

i teraz nie wiem skąd ci się wzięło −26t+40 w liczniku skoro wcześniej miałeś −28t+40 w liczniku Reszta dobrze

zef: Błąd przy przepisywaniu, ale chyba cała ideologia jest ok ?

zef: Zrobię jeszcze ze 2 aby się upewnić że umiem.

Mariusz: Tak ,idea dobra

Mariusz: ok ale zanim przejdziemy dalej chciałbym sprawdzić twoją algebrę na jakichś zadaniach

zef:

	21x+13
∫		dx
	x2−6x+25

p=3 q=16 (x−3)²+16

	d
4t=x−3 /
	dx

4dt
	=1
dx

dx=4dt

	21*4t+76
∫		4dt
	16t2+16

	21*4t+76
4∫		dt
	16t2+16

1		84t+76
	∫
4		t2+1

Rozbijam na 2

1		84t		1		76
	∫		dt +		∫		dt
4		t2+1		4		t2+1

	t		1
21∫		dt + 19∫		dt
	t2+1		t2+1

	d
t2+1=u /
	dt

2t=du/dt 2tdt=du tdt=du/2

	du/2		1
21∫		+ 19∫		dt
	u		t2+1

	du
10,5∫		+ 19arctan(t)
	u

10,5In|u|+19arctan(t)

	x−3
10,5In|t2+1|+19arctan(		)
	4

	x2−6x+25		x−3
10,5In|		|+19arctan(		)
	16		4

A ta się zgadza?

zef: Wolfram pokazuje taki wynik:

	x−3
10,5log|x2−6x+25|+19tan−1(		)
	4

Mariusz: Tak z dokładnością do stałej całkowania (o której to w całce nieoznaczonej powinieneś pamiętać bo mogą się czepiać )

zef:

	21x+13
∫		dx
	x2−6x+25

	21x		13
∫		dx+∫		dx
	x2−6x+25		x2−6x+25

pochodna mianownika to: 2x−6, postaram się sprowadzić licznik do pochodnej mianownika.

	2x−6		50
10,5∫		dx+∫		dx
	x2−6x+25		x2−6x+25

Czy taka droga liczenia też jest dobra ?

Mariusz: tan⁻¹() oznacza funkcję odwrotną do tangensa czyli arctan() logarytm możesz jeszcze uprościć korzystając ze wzoru na logarytm ilorazu Stałą która ci wyskoczy możesz włączyć do stałej całkowania

Mariusz:

	21
Tak tylko sprawdź jeszcze czy		(2x−6) +50=21x+13
	2

Tutaj akurat pomyliłeś się przy obliczaniu współczynnika w tej drugiej całce Jak tak rozbijesz to do pierwszej całki stosujesz podstawienie t=x²−6x+25 a w drugiej całce sprowadzasz mianownik do postaci kanonicznej i stosujesz podstawienie (x+p)=√qu

zef:

	2x−6		139
10,5∫		dx+∫		dx A teraz ?
	x2−6x+25		x2−6x+25

Mariusz:

21
	(2x−6)=21x−63
2

21
	(2x−6)+76=21x+13
2

zef: No przecież, nie wiem skąd wziąłem 139 Myślę że możemy przejść dalej, najważniejsze że już zrozumiałem

Mariusz: Co dostaniesz z dzielenia 21x+13 przez 2x−6 Podaj iloraz i resztę oraz napisz jak dzielisz

Mądra: Weszłam z ciekawości... Żałuję xd :3

zef: Dzielenie wielomianów tego samego stopnia ? Tego to ja nie miałem :<

Mariusz: Zanim przejdziemy dalej pokaż mi swoją algebrę dzielenie wielomianów z resztą , NWD wielomianów, schemat Hornera , układy równań liniowych

Mariusz: Dzielenie wielomianów działa podobnie jak dzielenie na liczbach

	21
	2

21x+13 : 2x−6 21x−63 (21−21)x +13−(−63) 76

	21
iloraz
	2

reszta 76

zef: To jaki jest końcowy wynik podzielności tego wielomianu ? Skoro wynik jest bez zmiennej i reszta także ?

Mariusz: Tak , wynik tak wygląda

	21x+13
a z tego wynika że ułamek
	2x−6

	21		76
można zapisać jako		+
	2		2x−6

zef: Okej, rozumiem

Mariusz: x⁵−2x⁴+x³−7x²+2x+1 : x³−6x²+7x−2 Podaj iloraz,resztę oraz napisz jak dzielisz

zef: x²+4x+18 x⁵−2x⁴+x³−7x²+2x+1: (x³−6x²+7x−2) −x⁵+6x⁴−7x³+2x² ___________________ 4x⁴−6x³−5x²+2x+1 −4x⁴+24x³−28x²+8x ___________________ 18x³−33x²+10x+1 −18x³+108x²−126x+36 ___________________ 75x²−116x+37

	75x2−116x+37
Iloraz x2+4x+18 + Reszta
	(x3−6x2+7x−2)

Mariusz: iloraz x²+4x+18 reszta 75x²−116x+37

x5−2x4+x3−7x2+2x+1		75x2−116x+37
	=x2+4x+18+
x3−6x2+7x−2		x3−6x2+7x−2

Schemat Hornera miałeś ? x³−6x²+7x−2: x−1 spróbuj schematem Hornera jeśli miałeś

zef: Tak, miałem x³−6x²+7x−2: x−1 1 −6 7 −2 1 −5 2 0 Czyli odp to (x²−5x+2)(x−1)=x³−6x²+7x−2

Mariusz: To zero które tutaj otrzymałeś może być interpretowane jako reszta z dzielenia ale także jako wartość wielomianu w punkcie (tutaj x=1) NWD , przyda ci się do skracania ułamków oraz do wydzielenia części wymiernej w schemacie całkowania funkcji wymiernych z 21 kwietnia 04:19 W₁(x)=x¹¹−x¹⁰−12x⁹+6x⁸+66x⁷−66x⁶−164x⁵ +272x⁴+189x³−701x²+560x−150 W₂(x)=x⁶−x⁵−6x⁴+4x³+19x²−27x+10 Zacznij od podzielenia z resztą wielomianu W₁(x) przez W₂(x)

Mariusz: NWD na liczbach liczyłeś z rozkładu na czynniki czy z algorytmu Euklidesa

zef: W1/W2=

	−34x5+34x4+136x3+136x2−374x+170
x5−6x3−4x2+7x−32+
	x6−x5−6x4+4x3+19x2−27x+10

Wyszło mi tyle

zef: Na dzisiaj mi wystarczy, jutro policzę jeszcze te całki z 11:47

Mariusz: No to dobranoc , zanim przejdziesz do całek podziel jeszcze x⁶−x⁵−6x⁴+4x³+19x²−27x+10 : −34x⁵+34x⁴+136x²−374x+170 Przy liczeniu NWD to reszta jest ważna , iloraz ignorujesz Dzielenie wykonujesz dopóki reszta będzie niezerowa Gdy z dzielenia reszta wyjdzie zerowa to dzielnik z ostatniego dzielenia jest NWD wielomianów NWD można także uzyskać z rozkładu na czynniki liniowe lub kwadratowe nierozkładalne Wiadomo że dla wielomianów o współczynnikach taki rozkład istnieje jednak dość często trudno taki rozkład znaleźć , chociaż z drugiej strony aby zaoszczędzić rachunków przy całkowaniu funkcji wymiernych często rozkład mianownika na czynniki będzie podawany Jeśli chodzi o całkowanie funkcji wymiernych to rozwiązywanie układów równań liniowych ci się przyda Jeżeli jednak nie znasz innych ciekawszych metod ich rozwiązywania to ograniczymy się do metody podstawiania

mat: Bardzo ciekawy, również uczę się powolutku całek. Rozumiem podstawy, tj podstawienia, przez części iloczyn wymierne z rozkładu na ułamki proste lub jakis wzór arctg czy arcsin. Póki co zajmuję się przygotowaniem do matury więc całki schodzą na dalszy plan, jednak niedługo będę miał troszkę czasu by się nimi zająć.I tu mam pytani, czy możecie polecić jakąś książkę, która wytłumaczy pokaże różne metody różnych całek. Taka też która jest napisana takim językiem żebym to zrozumiał, bym po prostu mógł się z niej sam uczyć. By były w niej przykałady tych różnych podstawień z tg , liczenie funkcji wymiernych z pierwiastkie itd. Co więc polecacie

Mariusz: Fichtenholz G.M Rachunek różniczkowy i całkowy Leja F Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych Zbiór zadań Krysicki i Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Banaś Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej (Krysicki i Włodarski jest o tyle lepszy że przypomina minimum potrzebnej teorii) Możesz też skorzystać z rosyjskich pozycji Berman Zbiór zadań z kursu analizy matematycznej Filippow Zbiór zadań z równań różniczkowych

Mariusz: Pokażę na przykładzie jak działa schemat przedstawiony we wpisie z 21 kwietnia 04:19

	32t4
∫		dt
	(t2+1)3(t2−1)2

Ostrogradski zauważył że część wymierna całki pojawia sie gdy czynniki w rozkładzie mianownika są wielokrotne zatem w mianowniku pod całką zostawiamy tylko czynniki z krotnością równą jeden W części wymiernej krotności czynników mianownika zmniejszamy o jeden Zakładamy też że stopnie liczników są o jeden mniejsze od stopni mianowników

	32t4
∫		dt=		+∫		dt
	(t2+1)3(t2−1)2		(t2+1)3−1(t2−1)2−1		(t2+1)(t2−1)

Zakładamy też że stopnie liczników są o jeden mniejsze od stopni mianowników (3−1)*2+(2−1)*2=6 2+2=4 zatem

	32t4
∫		dt=
	(t2+1)3(t2−1)2

a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0
(t2+1)2(t2−1)

	b3t3+b2t2+b1t+b0
+∫		dt
	(t2+1)(t2−1)

((t²+1)²(t²−1))'=2(t²+1)*2t(t²−1)+2t(t²+1)² =2t(t²+1)(2t²−2)+2t(t²+1)(t²+1) =2t(t²+1)(2t²−2+t²+1)=2t(t²+1)(3t²−1)

32t4
(t2+1)3(t2−1)2

	(5a5t4+4a4t3+3a3t2+2a2t+a1)(t2+1)2(t2−1)
=
	(t2+1)4(t2−1)2

	(a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0)2t(t2+1)(3t2−1)
−
	(t2+1)4(t2−1)2

	b3t3+b2t2+b1t+b0
+
	(t2+1)(t2−1)

32t4
	=
(t2+1)3(t2−1)2

(5a5t4+4a4t3+3a3t2+2a2t+a1)(t2+1)(t2−1)
(t2+1)3(t2−1)2

	(a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0)2t(3t2−1)
−
	(t2+1)3(t2−1)2

	(b3t3+b2t2+b1t+b0)(t2+1)2(t2−1)
+
	(t2+1)3(t2−1)2

32t⁴=(5a₅t⁴+4a₄t³+3a₃t²+2a₂t+a₁)(t⁴−1)− (a₅t⁵+a₄t⁴+a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀)(6t³−2t) +(b₃t³+b₂t²+b₁t+b₀)(t⁴−1)(t²+1) 32t⁴=(5a₅t⁴+4a₄t³+3a₃t²+2a₂t+a₁)(t⁴−1) −(a₅t⁵+a₄t⁴+a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀)(6t³−2t) +(b₃t³+b₂t²+b₁t+b₀)(t⁶+t⁴−t²−1) 32t⁴=(5a₅t⁸+4a₄t⁷+3a₃t⁶+2a₂t⁵+a₁t⁴)− (5a₅t⁴+4a₄t³+3a₃t²+2a₂t+a₁)− (6a₅t⁸+6a₄t⁷+6a₃t⁶+6a₂t⁵+6a₁t⁴+6a₀t³) +(2a₅t⁶+2a₄t⁵+2a₃t⁴+2a₂t³+2a₁t²+2a₀t) +(b₃t⁹+b₃t⁷−b₃t⁵−b₃t³+b₂t⁸+b₂t⁶−b₂t⁴−b₂t²) +(b₁t⁷+b₁t⁵−b₁t³−b₁t+b₀t⁶+b₀t⁴−b₀t²−b₀) 32t⁴=b₃t⁹+(b₂−a₅)t⁸+(b₃+b₁−2a₄)t⁷+(b₂+b₀+2a₅−3a₃)t⁶ +(−b₃+b₁+2a₄−4a₂)t⁵+(−b₂+b₀−5a₅+2a₃−5a₁)t⁴ +(−b₃−b₁−4a₄+2a₂−6a₀)t³+(−b₂−b₀−3a₃+2a₁)t² +(−b₁−2a₂+2a₀)t+(−b₀−a₁) b₃=0 b₂−a₅=0 b₃+b₁−2a₄=0 b₂+b₀+2a₅−3a₃=0 −b₃+b₁+2a₄−4a₂=0 −b₂+b₀−5a₅+2a₃−5a₁=32 −b₃−b₁−4a₄+2a₂−6a₀=0 −b₂−b₀−3a₃+2a₁=0 −b₁−2a₂+2a₀=0 −b₀−a₁=0 b₃=0 b₂=a₅ b₁=2a₄ b₂+b₀+2a₅−3a₃=0 b₁+2a₄−4a₂=0 −b₂+b₀−5a₅+2a₃−5a₁=32 −b₁−4a₄+2a₂−6a₀=0 −b₂−b₀−3a₃+2a₁=0 −b₁−2a₂+2a₀=0 −b₀−a₁=0 b₃=0 b₂=a₅ b₁=2a₄ b₀+3a₅−3a₃=0 4a₄−4a₂=0 b₀−6a₅+2a₃−5a₁=32 −6a₄+2a₂−6a₀=0 −a₅−b₀−3a₃+2a₁=0 −2a₄−2a₂+2a₀=0 b₀=−a₁ b₃=0 b₂=a₅ b₁=2a₄ 3a₅−3a₃−a₁=0 a₄=a₂ −6a₅+2a₃−6a₁=32 −4a₂=6a₀ −a₅−3a₃+3a₁=0 a₀=0 b₀=−a₁ b₃=0 b₂=a₅ b₁=2a₄ −3a₃+2a₁=0 a₄=a₂ 20a₃−12(2a₁)=32 −4a₂=6a₀ a₅=−3a₃+3a₁ a₀=0 b₀=−a₁ b₃=0 b₂=a₅ b₁=2a₄ 2a₁=3a₃ a₄=a₂ −16a₃=32 −4a₂=6a₀ a₅=−3a₃+3a₁ a₀=0 b₀=−a₁ a₀=0 a₁=−3 a₂=0 a₃=−2 a₄=0 a₅=−3 b₀=3 b₁=0 b₂=−3 b₃=0

	32t4		−3t5−2t3−3t
∫		dt=		+
	(t2+1)3(t2−1)2		(t2+1)2(t2−1)

	−3t2+3
∫		dt
	(t2+1)(t2−1)

	32t4		−3t5−2t3−3t
∫		dt=		+
	(t2+1)3(t2−1)2		(t2+1)2(t2−1)

	−3(t2−1)
∫		dt
	(t2+1)(t2−1)

	32t4		−3t5−2t3−3t		dt
∫		dt=		−3∫
	(t2+1)3(t2−1)2		(t2+1)2(t2−1)		(t2+1)

	32t4		−3t5−2t3−3t
∫		dt=		−3arctan(t)+C
	(t2+1)3(t2−1)2		(t2+1)2(t2−1)

Z analizy masz tutaj tylko pochodną ilorazu , reszta to algebra Teraz taka całka

	1		(t2−1)4
−		∫		dt
	2		t2(t2+1)3

Liczysz ją w ten sam sposób tyle że najpierw proponuję podzielić licznik i mianownik

mat: @Mariusz dzieki za przyklady ksiazek, rozumiem ze jest tam wszystko od podstaw jesli chodzi o calki i z wiedza po liceum powinienem sobie z nia poradzic tak

Mariusz: ciągi , szeregi , granice i pochodne miałeś ? Przydaje się też trochę algebry , co z niej miałeś

Mariusz: Do algebry proponuję Mostowskiego Starka Elementy algebry wyższej Z resztą u Fichtenholza czy Lei jest wykład od początku (no może poza podstawami algebry) więc zacznij czytać i sprawdź czy rozumiesz

zef:

	15x−13
∫		dx
	x2−8x+97

Widzę że stopień mianownika jest o 1 większy od licznika więc spróbuję sprowadzić licznik do takiej postaci aby był pochodną mianownika. Pochodna: 2x−8 7,5(2x−8)+...=15x−13 7,5(2x−8)+47=15x−13 Rozbijam to na 2 całki

	2x−8		47
7,5∫		dx + ∫		dx
	x2−8x+97		x2−8x+97

	1
7,5In|x2−8x+97|+47∫		dx
	x2−8x+97

(x−4)=9t

	1
7,5In|x2−8x+97|+47∫		dt
	81t2+81

	47		1
7,5In|x2−8x+97|+		∫		dt
	81		t2+1

7,5In|x²−8x+97|+arctan|t|

	x−4
7,5In|x2−8x+97|+arctan|		|
	9

jc: Mariusz, takie małe pytanie: po co w obecnych czasach doskonalenie się w takich rachunkach, skoro odpowiednie algorytmy zostały dobrze zaimplementowane i z takimi rachunkami komputery świetnie sobie radzą? Oczywiście pytanie nie dotyczy tylko całkowania. Komputery i sieć z obszernymi zasobami jakoś bardzo powoli zmienia wymagania szkolne.

zef: Zgubiłem wszędzie 7,5 przed drugą całką :< Wynik to

	352,5		x−4
7,5In|x2−8x+97|+		arctan|		|
	81		9

zef:

	89x+55
∫		dx
	x2−10x+34

p=5 q=9 (x−5)²+9 3t=x−5 / d/dx 3dt/dx=1 dx=3dt

	89*3t+500
∫		dt
	9t2+9

1		267t+500
	∫		dt
9		t2+1

Rozbijam na 2 całki

1		267t		1		500
	∫		dt+		∫		dt
9		t2+1		9		t2+1

267		t		500		1
	∫		dt+		∫		dt
9		t2+1		9		t2+1

t²+1=u / d/dt 2tdt=du tdt=du/2

267		t		500		1
	∫		dt+		∫		dt
9		t2+1		9		t2+1

267		du/2		500		1
	∫		+		∫		dt
9		u		9		t2+1

267		du		500
	∫		+		arctan|t|
18		u		9

267		500		x−5
	In|u|+		arctan|		|
18		9		3

267		500		x−5
	In|t2+1|+		arctan|		|
18		9		3

267		x−5		500		x−5
	In|(		)2+1|+		arctan|		|
18		3		9		3

267		x2−10x+25		500		x−5
	In|(		)+1|+		arctan|		|
18		9		9		3

267		x2−10x+34		500		x−5
	In|(		)|+		arctan|		|
18		9		9		3

zef: W wolframie wychodzi inaczej

	500		x−5
44,5log(x2−10x+34)+		arctan|		|
	3		3

Mariusz: jc tak ale ten program trzeba mieć , albo umieć samemu napisać poza tym co gdy odetną prąd czy to z powodu jakiejś awarii , czy to z powodu braku uiczczenia opłaty Jak chciałbyś liczyć tą całkę ? Standardowy rozkład na sumę ułamków prostych też by te dziesięć współczynników potrzebował a jeszcze te ułamki proste trzeba by było jakoś policzyć zef zgubiłeś trójkę pochodzącą z dx dx=3dt , zapomniałeś wstawić trójkę

zef: Aj racja, dzięki za znaleziony błąd

Mariusz: Jeśli chodzi o mianownik przy logarytmie , to jest on stały i można wciągnąć go do stałej całkowania korzystając ze wzoru na iloraz logarytmów

Mariusz: * na logarytm ilorazu

Mariusz:

	x3−6x2+7x−1
∫		dx
	x2+4x+13