.. Paweł: Mam takie pytanie, chce obliczyć objętość kuli wpisanej i opisanej na czworościanie foremnym. Narysowałem przekrój czworościanu i nie wiem czy dobrze oznaczyłem boki. ''d'' to krawędź czworościanu

	d√3
a=
	2

	d√3
b =
	2

c=d

Paweł: I jeśli to jest okej to potem standardowo okrąg wpisany i opisany na trójkącie ?

5-latek : Przeciez czworościan foremny slada się trojkatow równobocznych wiec ma wszystkie boki rowne

Paweł: No tak, ale przekrój też bedzie miał wszystkie boki równe?

Paweł: Wydaje mi sie że nie

Paweł: Ktoś rzuci okiem?

5-latek : narysuj sobie czworościan foremmy i spróbuj wpisac w niego kule Albo to zrob sobie w jakims programie (teraz sa Wiesz ze srodek okręgu wpisanego i opisanego w trojkacie równobocznym to te same punkty Gdzie pada wysokość takiego czworościanu na podstawe ?

Paweł: w grafice znalazłem taki przekrój https://pl-static.z-dn.net/files/df0/784fd48d7b84f00836e829dfb2be86e3.jpg i możemy przyjąć, że okrąg jest wpisany/opisany na tym pomarańczowym trójkącie?

Paweł:

Mila: |OD|=H

	1
|OS|=r=		H
	4

	3
|DS|=		H
	4

H²+|AO|²=a²

	2		a√3
H2+(		*		)2=a2
	3		2

	a√6
H=
	3

	a√6
r=		−promień kuli wpisanej
	12

	a√6
R=		− promień kuli opisanej
	4

Mila: W czworościanie foremnym o krawędzi a: r:R=1:3

Mila:

	3
|DS|=		H=R
	4

Paweł: Dziękuje za takie szczegółowe wyjaśnienie , a skąd wiadomo że OS = 1/4H?

Paweł: Troche sie już pogubiłem, to kule wpisaną w okrąg można przyjąć za okrąg wpisany w przekrój czy nie?

Paweł:

Mila: Okrąg jest wpisany w "kawałek" przekroju. Znajdę rysunek to dam linka, albo narysuję. Kula wpisana w czworościan jest styczna do jego ścian. Punkt S jest jednakowo odległy od ścian ostrosłupa ( czworościanu). S jest przecięciem wysokości czworościanu, które przecinają się w jednym punkcie i dzielą w stosunku 1:3. To możesz wykazać. Półprosta ES jest dwusieczną ∡AED ⇒

OE		h
	=
OS		SD

1   h 3		h
	=		⇔
OS		SD

1   h 3		OS
	=
h		SD

|OS|		1
	=
|SD|		3

================= Wzór na promień kuli wpisanej w czworościan można inaczej wyprowadzić.

Paweł: Dziękuje Milu, znalazłem Twoje stare rysunki w innych tematach więc nie musisz rysować drugi raz. Już rozumiem te kule i czworościany. Jeszcze raz dziękuje

Metis: Masz gdzieś te linki ?

Paweł: Tutaj jest rysunek Bogdana, bo akurat dodałem do zakładek. https://matematykaszkolna.pl/forum/201032.html łap

Metis: O super Nie widziałem go wcześniej

Paweł: Też średnio rozumiesz te kule wpisane opisane czy tylko powtórka?

Metis: Powtórka i nie

Mila: ABCD− czworościan foremny.

	a√6
H=
	3

	2
|FE|=		h,
	3

	a√3
h=
	2

	1		2
PΔFED=		*		h*H
	2		3

	a2√2
PΔFED=
	6

	|FE|+2h		4		4		a√3
PΔFED=		*r=		h*r=		*		*r
	2		3		3		2

4		a√3		a2√2
	*		*r=
3		2		6

stąd:

	a√6
r=
	12

Paweł: To tak podsumowując, warto zapamiętać do matury że promień kuli wpisanej w czworościan to 1/4H a opisanej to 3/4H gdzie H to wysokość tego ''kawałka'' przekroju czyli trójkąta równoramiennego, tak?

Paweł: To teraz gdzieś jeszcze poszukam zadań z tymi kulami wpisanymi w bryły żeby to przećwiczyć. Dziękuje Milu za super wyjaśnienie

Mila: H− wysokość czworościanu foremnego!. Tak, to należy zapamiętać, przydaje się.

Mila: 1) Zadanie dla maturzystów − kule wpisane i opisane na ostrosłupie. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym kąt nachylenia ściany bocznej

	π
do podstawy jest równy		.
	3

Wyznacz stosunek długości promienia kuli opisanej do długości promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Paweł: Spróbuje rozwiązać

Metis: Rozwiązuj na kartce i podaj wynik!

Paweł: Wyszło mi 2, ale nie bardzo jestem pewny

Paweł: wycofuje

Paweł: przeczytałem krawędzi bocznej a w poleceniu jest ściany.. późna godzina daje o sobie troche znac

Paweł: Tutaj też mi się nasuwa pytanie, jaka jest różnica między przekrojem zawierającym przekątną podsstawy, a tą łączącą krawędzie boczne podstawy? Czy w zależności od danych możemy którąś wybrać czy jest jakaś inna zależność? Stereometria to moja pięta Achillesowa

Paweł: Metis potrafiłbyś to wytłumaczyć ?

Evelek: Mila proszę o sprawdzenie. http://s31.postimg.org/q7lh3fyrf/WP_20160425_23_50_01_Pro.jpg

Metis: Paweł sprecyzuj to pomożemy

Paweł: na kartce machne i wrzuce zdjęcie

Metis: Evelek masz Ten kąt wiele ułatwia− mamy wtedy trójkąt równoboczny. Można też wyjść ze wzoru r kuli wpisanej w dowolny wielościan wypukły:

	3V
r=		( nie musimy interesować się zbytnio kątem)
	Pc

ale oczywiście do czasu, gdy trzeba będzie sparametryzować do jednej niewiadomej O R kuli opisanej na ostrosłupie już łatwiej.

Evelek:

Paweł: http://iv.pl/images/31629865538488465136.jpg wybacz, że tak niechlujnie, ale nie chce Ci zabierać czasu . Jest jakaś różnica w zastosowaniu któregoś przekroju? Pamiętam, że natrafiłem kiedyś na takie zadanie, że TRZEBA było wykorzystać przekrój z przekątną.

Evelek: Maturka to będzie formalność haha.

Evelek: Pawel roznica istotna. Przekatna podstawy ma inna długość niż ten odcinek laczacy srodki podstaw. Następną wazna rzecz: Kat miedzy sciana boczna a podstawa nie jest taki sam jak miedzy krawędzią boczna a podstawa.

Metis: Paweł nie wiem o jakie zadanie chodziło, ale to po prostu dwa inne przekroje ostrosłupa.

Paweł: Tak straszyli rok temu maturą, a nie była wcale trudna to w tym mogą coś podrzucić

Metis: Precyzując, między płaszczyzną podstawy .

Paweł: Czyli przekrój ''wybieram'' w zależności od danych i w zależności od tego czego szukam tak?

Metis: No oczywiście, że tak.

Evelek: Wszystko zalezy od zadania. Polecenie w zadaniu ci mówi co masz zrobić. W tym zadaniu od Mila mieliśmy wyznaczyć promienie R i r kul wpisanej i opisanej w ten ostrosłup. Wiec najszybsza droga do tego to wykorzystanie przekroju który narysowalem w swoim rozwiązaniu, czyli odcinek laczacy srodki boków podstawy. Są zadania gdzie masz np. wyznaczyć sinus kąta miedzy krawędzią boczna ostroslupa a jego podstawa. To wtedy aby wyznaczyć taki kat to bierzesz pod uwagę przekątna podstawy i krawędź boczna, czyli ten ostroslup który narysowales i zaznaczyles w nim właśnie te odcinki.

Paweł: Dzięki Wam , już wszystko powtórzone tylko z tą stereometrią walcze, ale mam jeszcze troche czasu żeby ją podszkolić.

Evelek: Rozszerzenie tez zdajesz?

Paweł: Taak i właśnie tej stereometrii najbardziej się obawiam, o reszte jestem w miare spokojny

Mila:

	π
α=
	3

R− promień okręgu opisanego na ΔACS r− promień okręgu wpisanego w ΔFES.

R		5
	=
r		2

Liczcie.

Mila: Ewelek popraw. Dobranoc

Metis: Dobranoc Milu

Paweł: Dobranoc !

Paweł: Czyli rozwiązanie Ewelka jest złe?

Metis: Tak

Evelek: O kurczę taki błąd.. Widzę już, poprawie jutro w sql.

Paweł: a byś wyjaśnił co zrobiłeś źle?

Evelek: Dobra zrobię teraz i ci pokaze.

Paweł: Wielkie dzięki

Evelek: Generalnie jeden duży błąd. Kula opisana na ostroslupie. Promień tej kuli mieści sie w przekroju ostroslupa który laczy przekatna podstawy i jego wierzchołek.

Paweł: Też tak na tym rysunkiem Mili posiedziałem i to ma sens. Dobra, lece spać bo już i tak myślenia zbyt dużego teraz nie mam

Metis: http://prnt.sc/awujp2

Evelek: http://s31.postimg.org/wsc8q9um3/WP_20160426_01_03_22_Pro.jpg

Evelek: Idealnie w czasie.

Metis: Zdążyłeś ode mnie przepisać

Evelek: Haha innym sposobem zrobiłem.

Metis: Takie chciałbym na maturze

Evelek: Jakby takie na maturach były to by chyba wszyscy w tym kraju studiowali.

Paweł: Witam ponownie , jak zawsze z pytaniami.. Na rysunku Mili widać że promień okregu OPISANEGO idzie od punktu S do punktu P to dlaczefo musimy skorzystać z przekroju zawierającego przekątna (pomaranczowy)? Dlaczefo nie mozna wykorzystać tego zielonego? Obliczajac PS zamiast PC?

Paweł: Dobra, już ogarnąłem temat.. udało mi się jakoś samemu

Evelek: Trzeba pamiętać który promień której kuli które odcinki łączy. Tak btw, tu nie ma okręgów tylko kule w tym zadaniu. Bo gdybyśmy chcieli opisać okrąg na tym trójkącie to zrobiliśmy to tak jak ja na poczatku, wtedy stosunek wyniósłby 2.

Mila: |AB|=2a H=a√3

	a√3
r=		− ΔFES− Δrównoboczny o boku (2a)
	3

R można obliczyć z tw. Pitagorasa w ΔPOC: R²=|OP|²+|OC|² R²=(H−R)²+(a√2)² 2HR=H²+2a² 2*a√3*R=(a√3)²+2a² 2a*√3*R=3a²+2a² 2√3R=5a

	5a		5√3a
R=		=
	2√3		6

R		5a√3   6
	=
r		a√3   3

R		5
	=
r		2

Mila: Tak zrobił Metis, dopiero teraz zobaczyłam.

Metis:

Mila: Wzór na promień kuli wpisanej w ostrosłup podany przez Metisa też warto zapamiętać.

	1
V=		*r*P
	3

V− objętość ostrosłupa r− długość promienia kuli wpisanej w ostrosłup P− pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ===============================

	3V
r=
	P