trygonometria PR ziomek98: 1.Rozwiąż równanie: cos⁴x−sin⁴x=sin2x 2.Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie (x⁴ – sin2α) (x+1) = 0 ma trzy różne rozwiązania.

ZKS: W zadaniu pierwszym gdzie pojawiają się problemy?

ziomek98: Nie wiem jak to rozpisać. Gdyby było np cos⁴x + sin⁴x to bym mogl to zapisac jako (cos²x+sin²x)−2cosxsinx, ale z minusem to nwm

ZKS: Trudniejszy przykład potrafisz zrobić a łatwiejszego nie? To mi pachnie tym, że nauczyłeś się schematów. Znasz na pewno wzór a² − b² = (a + b)(a − b), więc go tutaj zastosuj.

ziomek98: (cos²x+sin²x)(cos²x−sin²x)=2sinxcosx (1−sin²x+sin²x)(1−sin²x−sin²x)=2sinxcosx 1−2sin²x−2sinxcosx=0 co dalej?

ZKS: Powiedz ile to jest cos²(x) + sin²(x) albo sin²(x) + cos²(x)? Na pewno wiesz. Również cos²(x) − sin²(x) tylko to poszukaj we wzorach, 1543.

ziomek98: No jakos rozpisałem to i wyszło mi 1−2sin²x−2sinxcosx=0 nie wiem co z tym zrobic

ZKS: Wróć do równania postaci [cos²(x) + sin²(x)][cos²(x) − sin²(x)] = sin(2x) Teraz ile jest równe cos²(x) + sin²(x) oraz " cos²(x) − sin²(x) " do tego podałem Ci stronę nawet.

ojojoj: jedynka trygonometryczna i funkcje podwójnego kąta

ZKS: Dokładnie.

ziomek98: cos2α=sin2α Dalej dam rade A co z zad2?

ZKS: Pokaż jak rozwiążesz cos(2x) = sin(2x)? Przez rozpisanie cos(2x) oraz sin(2x), czy innym sposobem? Co do zadania drugiego to zauważ, że już jedno rozwiązanie masz, więc brakuje Ci jeszcze 2 różnych rozwiązań.

ziomek98: Rozwiązałbym to z rysunku Tak, tak wiem Nie wiem tylko jak rozpisać to x⁴ – sin2α

ZKS: Jakbyś wykorzystał wzory redukcyjne nie było by szybciej? cos(2x) = sin(2x)

	π
cos(2x) = cos(		− 2x)
	2

	π		π
2x =		− 2x + k • 2π ∨ 2x = −		+ 2x + k • 2π
	2		2

Tak samo jak a² − b², tylko że sin(2α) jakie musi być?

ziomek98: Nie mam pojecia

ZKS: To rozpisz x⁴ − sin(2α) z tego wzoru.

ziomek98: no, ale jak? mam pierwiastek z sin2α dac? cos takiego? raczej nie (x²−√sin2α)(x²+√sin2α)

ZKS: Tak dokładnie takie coś. Masz pierwiastek, zatem jakie musi być sin(2α) żeby pierwiastek istniał?

ziomek98: omg nie wiem dodatnie?

ZKS: Prawie dobrze, nieujemne. Tylko, że jeżeli sin(2α) = 0 to nie dostaniesz dwóch różnych rozwiązań z tego równania.

ziomek98: więc rozwiazaniem bedą liczby (0,+niesk)?

ZKS: A jaki jest zbiór wartości funkcji y = sin(2x)?

ziomek98: taki jak sinx: (−1,1)

ZKS: W sumie to nie ma nic do zadania. Jak zapiszesz za pomocą nierówności?

ZKS: Jakie musi być, więc sin(2α)?

ziomek98: sin2α > 0? omg, napisz mi po prostu rozwiazanie bo zanim ja sam na to wpadne to bedziemy pisac do jutra

ZKS: Tak i teraz rozwiąż tą nierówność.

ZKS: Tylko to jeszcze nie wszystko.

ziomek98:

	π
sin2α > 0 x∊(0+kπ,		+kπ)
	2

ziomek98: Cieszy mnie to bardzo za prosto jest d

ZKS: Nie możesz dostać z równania x⁴ − sin(2α) rozwiązania równego −1, ponieważ już takie masz i wtedy nie dostaniesz trzech różnych rozwiązań.

ziomek98: A to nie zawiera sie w nierówności sin2α>0?

ziomek98: Dobra wystarczy na dzis Pozostaje sie tylko modlic, zeby nic takiego nie bylo na maturze

ziomek98: Dzięki za cierpliwość

ZKS: Ale jeżeli sin(2α) = 1 to x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1) = 0.