ciąg art Metis: Możecie mi przytoczyć konkretny przykład dotyczący takich zadań: Ciąg a,b,c jest arytmetyczny i a+b+c=36 , a ciąg (a−2, b+4, c+18) jest geometryczny Obliczyć a, b, c Więc normalnie układam układ równań: a+b+c=36 2b=a+c (b+4)²=(a−2)(c+18) ale kojarzę z lekcji przykłady takich zadań, w którym ułożenie takiego układu albo jest niemożliwe, albo rozwiązanie zajęłoby dużo czasu i wtedy trzeba stosować metodą na rozpisanie ciągu na: a₁−r, a₁, a₁+r itd. Niestety nie mogę skojarzyć takiego przykładu

Jack: wg mnie ten uklad co napisales jest najprostszy a zeby go jak najszybciej rozwiazac, to wdrugim rownaniu masz ze a+c = 2b zatem do pierwszego zamiast a+c dajesz 2b czyli po sekundzie praktyczni masz 2b+b = 36 −>>3b = 36 −> b =12 i podstawiasz, wg mnie banalne

Jack: ja zawsze robilem tym ukladem zeby bylo najszybciej, nie kojarze szybszej metody : D

Metis: No tak... Mi nie chodzi o to zadanie, bo to jest banalne. Są przykłady takich zadań, gdzie rozwiązanie układu jest wrecz niemożliwe.

Jack: nie kojarze zadnego takiego przykladu...wiec niestety nie pomoge

Metis: Ok, mam... Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu art. Jeżeli pierwszy wyraz ciągu art. zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3 to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby. Ułóż układ równań i spróbuj policzyć

Jack: a,b,c −> trzy liczby (kolejne wyrazy ciagu geometr.), czyli b² = a*c b,a,c −> arytmetyczny, czyli 2a = b+c b−7,a,c+3 −>>geometr. czyli a² = (b−7)(c+3) nasz uklad b² = a*c 2a = b+c a² = (b−7)(c+3)

Metis: Tak jest

Mila: 1) Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego (a_n) jest równy 6. Oblicz sumę siedmiu jego kolejnych wyrazów poczynając od wyrazu piątego. 2) Pięćdziesiąty wyraz c.a (b_n) jest równy 5. Oblicz: a) b₄₉+b₅₀+b₅₁ b) sumę 99 początkowych wyrazów ciągu (b_n) c) S₆₀−S₃₉ , gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (b_n).

Metis: 2) b₅₀=5 a) b₄₉+b₅₀+b₅₁=b₅₀−r, b₅₀,b₅₀+r 5−r+5+5+r=15

Jack: 2. b₅₀ = 5 a) b₅₀ = 5 b₄₉ + b₅₀ + b₅₁ = 3*b₅₀ = ...

pytajnik123: Metis tutaj masz właśnie 2 sposoby rozwiązania tego zadania. https://www.youtube.com/watch?v=RWJAQBajII0

bezendu: http://www.zadania.info/d669/1

Metis: c) S₆₀−S₃₉= b₄₀+b₄₁+b₄₂+ b₆₀ b₅₀ jest wyrazem środkowym b₅₀ − 10r + b₅₀−9r + b₅₀−8r +... b₅₀ + b₅₀+r + b₅₀+2r + ... +b₅₀ +10r =21*b₅₀= 21*5 = 105

Jack: 2. b) S₉₉ = b₁ + b₉₉ + b₂ + b₉₈ + b₃ + b₉₇ + ... + b₄₉ + b₅₁ + 2b₅₀ = = 2(b₅₀ + b₅₀ + b₅₀ + ... + b₅₀ + b₅₀) = 2 * 50 b₅₀ = 100 *5 = 500

bezendu: https://matematykaszkolna.pl/forum/232541.html

Metis: b) S₉₉= ? S₉9=b₁+b₂+b₃+b₄+...+b₉₉ ⇔ S₉₉= b₅₀−49r+ b₅₀ − 48r + b₅₀−47r + ... b₅₀ + b₅₀+r + b₅₀+2r+ b₅₀+3r +... + b₅₀+ 49r =99*b₅₀= 495

Metis: I kto ma dobrze?

Jack: moglem sie pomylic, bo tak na szybko rozpisalem, nie liczylem ile ich jest ale skoro jest 1−99 2−98 3−97 to razem chyba 50...

Metis: 1) a₈=6 a₅ + a₆+ a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+ a₁₂ =S₁₂−S₄ = a₅ + a₆+ a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+ a₁₂

Mila: b)b₁,b₂,........b₅₀, ..... b₉₈,b₉₉ k=99 liczba wyrazów zestawu b₅₀=5− środkowy wyraz zestawu S₉₉=99*5=495 c) S₆₀−S₃₉= b₄₀+b₄₁+b₄₂+...+b₅₀+...+b₅₉+ b₆₀ środkowy wyraz zestawu: a₅₀=5 k=21 liczba wyrazów w sumie S=21*5=495

Jack: a wiec jednak : D

Mila: Wynik w (1) Panowie podać.

Metis: Milu w c) chyba chochlik 21*5=105

Mila: (1) a₅ + a₆+ a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁

Metis: Tak u mnie nie powinno być a₁₂ , teraz wyjdzie

Mila: naturalnie 5*21=105

Metis: 7*a₈=7*6=42

Metis: Dziękuje Milu Możesz zerknąc na moje oba zadania z optymalizacji i powiedzieć czy czegoś nieumyślnie nie skopałem, albo wskazać braki w komentarzu?