Suma nieskończonego ciągu geometrycznego.
Rew: Dzień dobry. Chciałabym prosić o pomoc z następującym zadaniem:
W nieskończonym ciągu geometrycznym o sumie równej 5 różnica między sumą wyrazów o wskaźnikach
nieparzystych a sumą wyrazów o wskaźnikach parzystych jest równa 2. Oblicz pierwszy wyraz i
iloraz tego ciągu.
Posiadam rozwiązanie tego zadania, jednak mój ptasi móżdżek nie potrafi zrozumieć jednego
zagadnienia, a mianowicie: różnica między nieparzystymi a parzystymi wyrazami została zapisana
| | a1 | | a1q | |
jako |
| − |
| =2. Nie rozumiem, dlaczego mianowniki tych składników to |
| | 1−q2 | | 1−q2 | |
właśnie 1−q
2. z naciskiem na ten kwadrat. Mógłby ktoś jak krowie na rowie? I jeszcze jedno
ogólne pytanie: zawsze, kiedy w zadaniu licealnym podają mi sumę nieskończonego ciągu
geometrycznego, mam przyjąć że moduł z q jest mniejszy od 1? W zadaniu nie ma żadnej
informacji na temat tego, czy ciąg ten jest zbieżny czy nie. To że posiada on sumę jest
właśnie tego dowodem? Mam ogromne kłopoty ze zrozumieniem tego kawałka teorii. Byłam na
stronie
297, jednak nie rozwiewa ona moich wątpliwości. Co jeśli q nie spełnia tego
założenia i wzór ten jest nieprawdziwy? Istnieje jakiś inny? Czy też nie ma go w ogóle?
Przepraszam za tyle pytań.
19 kwi 12:36
Janek191:
a
1,a
1q,a
1q
2, a
1 q
3,a
1 q
4 , ....
a
1, a
1 q
2 , a
1 q
4, .... − wyrazy o numerach nieparzystych
a
1 q , a
1 q
3, a
1 q
5, ... − wyrazy o numerach parzystych
| | a1 | | a1q | |
Snp = |
| Sp = |
| |
| | 1 − q2 | | 1 − q2 | |
19 kwi 12:53
Janek191:
Mamy zatem
| | a1 | | a1 q | |
Snp − Sp = 2 ⇔ |
| − |
| = 2 |
| | 1 − q2 | | 1 − q2 | |
19 kwi 12:56
Riw: Dziękuje ci bardzo! Dzięki temu, że wypisałeś mi te pierwsze wyrazy od razu zrozumiałam
dlaczego to q jest do kwadratu. A czy mógłbyś jeszcze odpowiedzieć mi na pytanie, czy jeśli w
treści takiego zadania podana jest suma, należy z automatu przyjąć że moduł z q jest mniejszy
| | a1 | |
od 1 i wzór |
| jest prawdziwy? |
| | 1−q | |
19 kwi 14:28
Riw: Nie dopisałam jednej strony wzoru, oczywiście chodziło mi o wzór na sumę.
19 kwi 14:29
Riw: Ponawiam pytanie natury teoretycznej. Czy jeśli w treści takiego zadania jak to, o które
pytałam, znajduje się informacja o sumie ciągu mam z automatu przyjąć że moduł z q jest
| | a1 | |
mniejszy od 1 i wzór S= |
| jest prawdziwy? Czy też w zadaniach licealnych z sumą |
| | 1−q | |
istnieje opcja, że q nie spełnia warunku i wzór taki jak ten który podałam jest nieprawdziwy?
20 kwi 00:30