matematyka rozszerzona pierwiastki Kleo: Wykaż, że wartość wyrażenia jest liczbą naturalną: √ 3−√5 * ( 3 + √5) * (√10 − √2)

Jack: https://matematykaszkolna.pl/forum/321244.html

Kleo: W rozwiązaniu został zastosowany wzór skróconego mnożenia, ale który?

5-latek : wyrażenie (3+√5)*(√10−√2) nie stanowi problemu do policzenia natomiast jest problem z tym √3−√5 ? tak ?

5-latek : ja rozwiazuje takie wyrażenia postaci √A±√B troche podobnie jak Jack a mianowicie jeśli A²−B=C² to

	A+C		A−C
√A±√B= √		±√
	2		2

Wszystkie takie przykłady niezależnie od tego czy wyrażenie pod pierwiastkiem jest pelnym kwadratem czy nie . Jeśli mam postab √A±n√B to czynni n wciągam pod pierwiastek i mama √B i dalej tak samo

5-latek : Jeśli chcesz zrobić tak jak Jack to zrobil to należy trochę pomyslec

	a±b		a		b
Z własności dzialan na liczbach ℛ mamy		=		±
	c		b		c

	6−2√5		6		2√5
Teraz patrząc na to można 3−√5 zapisac jako		bo		−		= 3−√5
	2		2		2

	6−2√5
wiec √3−√5= √		=
	2

Ale już teraz √6−2√5 = √(1−√5)² bo (1−√5)²= 1−2√5+5= 6−2√5 ========================================(tu ten wzor skroconego mnożenia a dalej to = |1−√5|= −(1−√5)= √5−1 dalej już patrz jego rozwiązanie

Kleo: tak

Kleo: Ale czy ten wzór jest wprowadzony na poziomie liceum?

Kleo: Dobra. Już wszystko rozumiem.

5-latek : jeśli chodzi o (a−b)² czy (a+b)² to tak to sa wzory oczywiste . sama musisz ta postac znaleźć Jeśli chodzi o ten 10:56 to chyba nauczyciele go nie pokazuja bo obciaza i tak przeciążone umysły licealistów . Dobrze jest go znac

ojojoj : 5−latek gdzie mogę znaleźć to w internecie?

ojojoj : pytanie do postu 10:56

5-latek : ten wzor

	A+C
√A+√B= √		± itd. −−− kiedyś pisal o nim Gustlik ale wyszukiwarka nie
	2

działa od początku na pewno był znany jeszcze przed 1966r bo jest on w tablicach matematyczno−fizycznych 4 cyfrowych pod redakcja W Wojtowicza z 1966r Ta postac czyli √a+√b jest nazywana pierwiastkiem surdycznym wiec może wpisz to haslo w google

ojojoj : dziękuje 5−latku

5-latek : Masz tam jeszcze taki wzor jeżeli a>b>0 to

	7		1
√a2+b2=		a+		b
	8		2

gdy b<a<4b wzor ten daje przybliżenie z bledem mniejszym od 3% dokładnej wartości

ojojoj : internet milczy na ten temat, trochę lipa

5-latek : Ten wzor musisz znac na pamięć . Jeśli chcesz się nim poslugiwac Pokaze CI w takim razie co innego √n+√m mamy rozpisać w postaci √x+√y czyli √n+√m=√x+√y (obie strony do potęgi drugiej n+√m= x+2√x*y+y czyli mamy mieć ze x+y=n 2√xy=√m( to równanie do potęgi drugiej wiec mamy układ rownan {x+y=n {4xy=m wiec dalej {x+y=n

	m
{x*y=
	4

	m
Wiec masz znaleźć takie dwie liczby x i y żeby ich suma była rowna n i iloczyn
	4

Od tej pory masz tylko to pamietac bo skad to się bierze masz wyprowadzone Zrobmy przykład √3+√8= √x+√y wiec mamy do rozwiązania taki układ {x+y=3

	8
[x*y=		=2
	4

Masz znalezc takie liczby x i y żeby ich suma była rowna 3 a iloczyn 2 To już widać ze będą to liczby x=1 i y=2 lub x=2 i y=1 Przy sumie nie gra roznicy która pare wezniemy Wiec możemy zapisac tak √3+√8= √1+√2= 1+√2 ========================= Ta sama zasada jest przy roznicy tylko tutaj zakładamy ze x≥y Przykład √7−4√3= √7−√48= √x−√y i x≥y podnosimy obie strony do potęgi drugiej mamy 7−√48=x+y−2√xy ROwnosc ta będzie spelniona kiedy {x+y=7

	48
{x*y=		=12
	4

Z tego już widzimy ze będzie tak x=3 iy=4 albo x=4i y=3 Wobec tego ze x≥y to √7−4√3=√4−√3=2−√3 ========================== Zasada jest prosta − po rozwaizaniu sobie kilku przykladow będziesz to rozwalal w trymiga Ta metoda jest dobra gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest pelnym kwadratem . jeśli nie jest to ten drugi wzor zastosuj

ojojoj : zapomniałem 5−latku podziękować możesz mi jeszcze napisać jakieś przykłady do rozwiązania, z chęcią się tego sposobu nauczę