;)) Jack: Tez wam moge dac zadanka jeali chcecie Poki co z z tematu wykorzystania pochodnych

zef: O to możesz coś podrzucić chętnie się pouczę, a może coś nawet będę potrafił zrobić

Jack: 1. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 16. Jakie wymiary powinien mieć ten graniastosłup, aby jego pole powierzchni całkowitej było najmniejsze? 2.Namiot ma kształt graniastosłupa prawidłowego trójkątnego (rys. na górze). Pole powierzchni całkowitej namiotu (łącznie z podłogą) jest równe 18√3. Dla jakiej długości krawędzi x∊ <2;3>, objętość namiotu będzie największa? 3.Wyznacz współrzędne punktu P należącego do wykresu funkcji f i leżącego najbliżej prostej x−y+2=0 a)f(x) = 1−x²

	2x−3
b) f(x) =
	x−1

4. Wyznacz dziedzinę funkcji f, określ jej najmniejszą wartość oraz naszkicuj wykres, jeśli : f(x) = lim (1 + x² + x⁴ + ... + x²ⁿ) n→∞ 5.* Funkcja f przyporządkowuje parametrowi p sumę sześcianów pierwiastków równania x² + px +

	p
		= 0. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f.
	2

	x2+ax−4
6.Punkt P(1, −2) należy do wykresu funkcji f(x) =		, b ≠ −1. Styczna do tego
	x+b

wykresu poprowadzona w punkcie P jest prostopadła do prostej 3x+y+5 =0. Oblicz a i b.

	1		1
7.Dane są funkcje f(x) =		x2 + a i g(x) =		. Dla jakiej wartości parametru a
	2		x

styczne do wykresów funkcji f i g w punkcie ich przecięcia są prostopadłe?

	1
8. Prosta o rónaniu y =		x jest styczna do wykresu funkcji :
	4

	x2−x		1
f(x) =		+ cos 2α −		sin α w punkcie o dodatniej odciętej. Wyznacz α, jeśli
	3x+1		2

α ∊<0;π> Odpowiedzi zostana wrzucone pozniej ^^

Jack: refreshuje bo zagina

Metis: Kilka rozwiązałem, jutro wstawię .

zef: Odświeżam, ktoś się podejmie rozwiązania, chciałbym się z tego trochę dowiedzieć

Jack: ja polowe rozwiazalem , ale nwm czy jest sens wrzucac

zef: Jak znajdę czas w weekend to sam popróbuję, coś może zrobię

zef: Zad.1 16=Pp*H Pc=2Pp+Pb Posłużę się tym rysunkiem.

	x2√3
16=
	4

	x2√3		1
Pc=		*		+3xy
	4		2

Pc=8+3xy I teraz liczyłbym pochodną dla zmiennej x i y i ekstrema, w taki sposób trzeba ?

zef: W objętości h zgubiłem :<

Jack: to jest liceum... pochodna sie liczy tylko po jednej zmiennej oznaczmy krawedz jako x i wysokosc jako y

	x2√3
16 = Pp * H =		* y
	4

z tego co znamy wyznaczamy jedna zmienna np. wyznaczmy igrek

	x2√3
skoro 16 =		* y
	4

	16*4
to y =
	x2√3

	x2√3		x2√3
Pc = 2PP + Pb = 2*		+ 3*xy =		+ 3xy
	4		4

i teraz wstawiasz ten igrek do Pola i masz tylko jedna niewiadomo potem pochodna, przyrownujesz do zera i ekstrema... założenia oczywiscie x,y > 0 (bo to dlugosci bokow)

	16*4
skoro zrobilismy, ze y =
	x2√3

to

16*4
	> 0
x2√3

oczywiscie to jest spelnione...

zef: po podstawieniu y

	x2√3		192
[		+		]'
	4		x√3

8√3x		−192√3
	+
16		3x2

√3x		64√3
	−
8		x2

√3x3		512√3
	−
8x2		8x2

√3x3−512√3
	=0
8x2

√3x³−512√3=0 √3x³=512√3 x³=512 x=8

	64√3		192
f(8)=		+
	4		8√3

64√3		192√3
	+
4		24

16√3+8√3 24√3 Dobrze ?

zef: dla x=8 pole będzie najmniejsze i będzie wynosiło 24√3

Jack: oczywiscie w moim poscie 21:38 mam blad jest napisane

	x2√3
Pc = 2Pp + Pb = 2 *		+ 3xy
	4

	x2√3
a potem jest =		+ 3xy (dwójka zaginęła)
	4

odp. jest 4, czyli sie zgadza bo 8/2 = 4 oczywiscie jak liczysz pochodna i przyrownasz do zera, to czy to jest minimum czy maximum okreslasz poprzez rysunek krzywej. wyszlo Ci x³ = 512 x= 8 (wytlumacze na tym przykladzie) to zaznaczasz to miejsce zerowe i rysujesz zawsze od prawej do lewej, skoro to jest liniowa a wspolczynnik jest dodatni, to od gory. to co pod osia to robimy minus, to co ponad to + i tlumaczy sie to tak funkcja przyjmuje minimum dla x = 8 [f_min (8)] to ze to jest minimum okreslasz po tym, ze jest najpierw minus a potem plus, a to z kolei mozna wytlumaczyc tak, ze masz minus czyli idziesz w dol, a potem plus, czyli do gory, wiec skoro szedles na sam dol a potem do gory, to musiales byc na samym wierzcholku dolu. czyli jak bys szedl miedzy pagorkami (niebieski rysunek) dlatego minimum

Jack: oczywiscie w poleceniu pytali o wymiary... wiec x = 4 y = ...

zef: No to można uznać że sobie poradziłem z tym zadaniem Dzięki za szczegółowe objaśnienie ekstremów, jutro postaram się jeszcze jakieś zadanie zrobić

zef:

	4√3
y=
	3

Jack:

Jack: a wlasciwie tutaj rozpisalem jak to trza... https://matematykaszkolna.pl/forum/317510.html

Mila:

	x2√3
V=		*y ,x>0 i y>0
	4

x2√3
	*y=16 /*4⇔x2√3y=64 /*√3
4

	64√3
3x2*y=64√3⇔y=
	3x2

	x2√3
P(x,y)=2*		+3*x*y , ⇔
	4

	x2*√3		64√3
P(x)=		+3*x*
	2		3x2

	x2*√3		64√3
P(x)=		+
	2		x

	64√3		64
P'(x)=x√3−		=√3*(x−		)
	x2		x2

	64		64
P'(x)=0⇔x−		=0⇔x=		⇔x3=64⇔x=4
	x2		x2

P'(x)>0⇔x>4⇔dla x=4 funkcja P(x) ma wartość najmniejszą

	42√3		64√3
P(4)=		+
	2		4

P(4)=8√3+16√3=24√3

Mila:

Jack:

zef: Zad 2. Pc=18√3 x<2;3> v=? Pc=2Pp+3Pb V=Pp*H

	x2√3
V=		*y
	4

	x2√3
Pc=2*		+3xy
	4

Z Pc wyznaczam y.

	x2√3
18√3=2*		+3xy
	4

	x2√3
18√3=		+3xy
	2

	x2√3
18√3−		=3xy
	2

	18√3		x2√3
3y=		−
	x		2x

	18√3		x√3
3y=		−
	x		2

	6√3		x√3
y=		−
	x		6

	6√3		x2√3
y=		−
	x		6x

	36√3		x2√3
y=		−
	6x		6x

	36√3−x2√3
y=
	6x

Liczę teraz pochodną z tego wyrażenia:

	36√3−x2√3
y=[		]'
	6x

	(36√3−x2√3)'*6x−(36√3−x2√3)*6
y'=
	36x2

	(−2√3x)*6x−(36√3−x2√3)*6
y'=
	36x2

	(−12√3x2)−(216√3−6x2√3)
y'=
	36x2

	−12√3x2−216√3+6x2√3
y'=
	36x2

	−6√3x2−216√3
y'=
	36x2

	−√3x2−36√3
y'=
	6x2

Teraz pochodną przyrównuję do 0 aby znaleźć ekstrema.[(x∊<2;3>)]

−√3x2−36√3
	=0
6x2

−√3x²−36√3=0 −√3x²=36√3 −x²=36 x²=−36 No i wychodzi mi że pochodna nie ma miejsc zerowych :< Ale to chyba nie koniec bo: −x²−36=0 (Oznacza parabolę skierowaną ramionami do dołu posiadającą wierzchołek który jest wartością maksymalną) Wierzchołek pokrywa się z osią Oy w punkcie −36 Rozpatruję to w przedziale <2;3> i wiem że większe będzie w 2 więc liczę f(2)

	36√3−22√3
F(2)=
	12

	36√3−4√3
F(2)=
	12

	32√3
F(2)=
	12

	32√3
Odp: Największa objętość będzie wynosiła
	12

Może mi ktoś to sprawdzić

zef:

Jack: do momentu

	36√3 − x2√3
y =		jest ok
	6x

potem niepotrzebnie liczysz pochodna wyznaczyles sobie igrek po to, zeby wstawic do objetosci liczysz pochodna od tego co ma byc najwieksze /najmniejsze. W poleceniu pytaja o najwieksza objetosc. Dlatego jak masz juz igrek to go podstawiasz teraz do objetosci...tylko po to go wyznaczales, bo bys mial dwie zmienne.

	x2√3
V =		* y
	4

tutaj tamten igrek podstawiasz, wymnazasz i liczysz pochodna... albo korzystasz ze wzoru na iloczyn w pochodnych...jak prosciej wg mnie latwiej wymnozyc i uporzadkowac troche a potem pochodna

Jack: aj, zapomnialem sie zalogowac

zef: Aj racja zapomniałem podstawić :<

	x2√3		36√3−x2√3
V=		*
	4		6x

	108x2−3x4
V=
	24x

	108x−3x3
V=
	24

	36x−x3
V=
	8

Liczę pochodną z V

	36x−x3
V'=[		]'
	8

8(36−3x2)
64

36−3x2
8

przyrównuję do 0

36−3x2
	=0
8

36−3x²=0 3x²=36 x²=12 x=2√3 lub −2√3 Większa wartość będzie dla x=3

	32√3		36√3−32√3
f(3)=		*
	4		6*3

	9√3		36√3−9√3
f(3)=		*
	4		18

	9√3		27√3
f(3)=		*
	4		18

	9√3		27√3
f(3)=		*
	4		18

	729
f(3)=
	72

f(3)=10,125 Odp: Największa objętość będzie dla x=3 i będzie wynosiła 10,125

Jack: mam odpowiedz ze dla x=3, bo nie pytali ile bedzie wtedy wynosic objetosc, ale moge sprawdzic rachunki

Jack: aczkolwiek nie rozumiem czemu skoro f_max wyszla dla x = 2√3 to w trojce jest najwieksza... zazwyczaj wychodzi ze max jest tam gdzie chcemy... no ale trudno sie mowi moze i git

azeta: bo chodzi o przedział <2,3>, taki haczyk 2√3 nie należy do tego przedziału też jeśli mogę coś poradzić odnośnie liczenia pochodnej: zauważ zef,

	36x−x3		1
V(x)=		=		(36x−x3), a więc to zwykła pochodna z xn żaden błąd oczywiście,
	6		6

ale tam gdzie można wyłączyć stałą przed nawias, lepiej to zrobić.

zef: Dzięki za wskazówkę Jutro postaram się zrobić jeszcze jakieś zadanko.

Jack: to powodzonka