#workout
PrzyszlyMakler: Z cyklu szybkich pytań:
cos4x = 2(2cos2x−1) = 4cos2x − 2
Czy to tak można?
16 mar 22:00
PrzyszlyMakler: #help
16 mar 22:10
ZKS:
Co ta dwójka robi przed nawiasem? Podaj wzór na cos(2x).
16 mar 22:11
PrzyszlyMakler: 2cos2x − 1
Dwójka przed nawiasem, bo to cos4x :C
16 mar 22:15
ZKS:
Okej, więc cos(2x) = 2cos2(x) − 1, teraz zamiast 2x wstaw 4x, a zamiast
x co wstawisz?
16 mar 22:18
PrzyszlyMakler: 2x?
16 mar 22:19
ZKS:
Dokładnie.
16 mar 22:23
PrzyszlyMakler: zatem: cos4x = 2cos22x − 1
I da się to rozłożyć na coś prostszego jeszcze?
16 mar 22:25
ZKS:
Możesz znowu ze wzoru cos(2x).
16 mar 22:26
PrzyszlyMakler: 2cos
2(2cos
2−1) − 1?
Jestem niemal pewien, że źle.. Nie potrafię się poruszać na działaniach na kątach.
16 mar 22:28
ZKS:
Niestety widać. Podpowiem trochę cos2(x) = [cos(x)]2.
16 mar 22:30
PrzyszlyMakler: Ok. Mam więc 2cos22x−1 = (2cos2x)2 − 1 = [2(2cos2x−1)]2 −1
I niestety mój mózg paruje i nie wiem jak dalej. Działam dziś 9h, jutro próbna rozszerzona.
Mógłbyś pomóc?
16 mar 22:40
ZKS:
2cos2(2x) − 1 = 2 • [2cos2(x) − 1]2 − 1
16 mar 22:44
PrzyszlyMakler: Przecież dokładnie to napisałem.
Da się dalej?
16 mar 22:45
PrzyszlyMakler: A nie. Ty nie masz 2 do 2. Hmmm.. Dlaczego?
16 mar 22:46
ZKS:
Napisałem wskazówkę cos2(x) = [cos(x)]2, jak dalej nie będziesz wiedział postaram się dalej
wytłumaczyć.
16 mar 22:48
ZKS:
Masz 2 • cos2(2x), a nie [2cos(2x)]2.
16 mar 22:50
PrzyszlyMakler: Dziękuję Ci bardzo za wszystko do tej pory. Między innymi, że nie dajesz mi gotowca, a czuwasz
nad tym, abym zrobił sam. Muszę chwilę odpocząć, bo działania na kątach to zupełnie inna
matematyka... Inne zasady potęgowania itd.
16 mar 23:03
PrzyszlyMakler: Zaraz spróbuję dokończyć.
16 mar 23:03
PrzyszlyMakler: Przepisuje z kartki, tak to zrobiłem:
cos4x = 2*cos
22x − 1 = 2* (cos2x)
2 − 1 = 2*(2*cos
2x − 1) − 1 = 4cos
2x−2−1 = 4cos
2x − 3
I już chyba bardziej się nie da. I czy dobrze? <pełen nadziei>
16 mar 23:09
ZKS:
Nie ma za co, proszę bardzo. Cieszę się, że doceniasz pomoc i właśnie przez to takiej osobie
jak Ty chętniej się pomaga.
16 mar 23:11
PrzyszlyMakler: Ale dobrze?
16 mar 23:11
ZKS:
Zjadłeś kwadrat po trzecim nawiasie.
16 mar 23:12
ZKS:
Miało być zjadłeś kwadrat po trzecim znaku równa się, za nawiasem.
16 mar 23:13
PrzyszlyMakler: Nie wiem gdzie. Po pierwsze widzę 2 nawiasy.
16 mar 23:14
PrzyszlyMakler: Ok. Analizuję.
16 mar 23:14
PrzyszlyMakler: Racja. Cholera.
16 mar 23:15
ZKS:
Masz coś takiego: " ... = 2 • [cos(2x)]2 − 1 = 2 • [2cos2(x) − 1]? = ... "
16 mar 23:16
ZKS:
Nawet i sam już doszedłeś do tego.
16 mar 23:16
PrzyszlyMakler: 2*(2*cos2x − 1)2 − 1 = 2*(4cos4x−4cos2x + 1) − 1 = 8cos4x − 8cos2x + 1
16 mar 23:17
PrzyszlyMakler: Dobrze? XD
16 mar 23:17
ZKS:
.
16 mar 23:19
PrzyszlyMakler: Ale tragedia. To teraz przejdźmy na wyższy level.
Zadanie z operonu 2015 próbnego. Ale to rozwiązanie w ich odpowiedziach mi nie pasuje, więc
chcę spróbować tak.
sin2x + cos4x = 0
2sinxcosx + 8cos
4x − 8cos
2x + 1 = 0
...
Chyba jednak tak tego nie rozwiążemy?
16 mar 23:21
ZKS:
To są najłatwiejsze zadania tego typu.
sin(2x) + cos(4x) = 0
cos(4x) = −sin(2x)
cos(4x) = sin(−2x)
Teraz zamień sin(−2x) na cos(?) korzystając ze wzorów redukcyjnych.
16 mar 23:26
PrzyszlyMakler: Chwilkę, tylko spróbuję coś zrozumieć.. Dla dowolnego cos(−x) = cos(x)
to jeżeli zrobiłym sin(2x) = −cos(4x)
to..
sin(2x) = cos (4x)
16 mar 23:28
ZKS:
Tylko, że cos(x) nie jest równy −cos(x).
Przykładowo dla x = 0 mamy cos(0) = 1 natomiast −cos(0) = −1
16 mar 23:30
PrzyszlyMakler: To dlaczego Ty wrzuciłeś z −sin(2x) do kąta, tj. sin(−2x)?
16 mar 23:32
ZKS:
Dlatego, że sin(−x) = −sin(x).
16 mar 23:33
PrzyszlyMakler: Aaaa.. Ok! Bo ja źle zapamiętałem. Myślałem, że można tego tricka robić tylko z cosinusem, a
nie ze wszystkim oprócz cosinusa.
Dobra. Dzięki za cierpliwość, bo to było dośc banalne.
Wracamy do naszego przykładu.
cos4x = sin(−2x)
Wiem, że sinx = cos (90−x), ale nie potrafie sobie wyobrazić, że to 4x bądź −2x w ogóle nie
wpływa na ten wzór.
16 mar 23:36
ZKS:
| | π | |
Jest git, sin(x) = cos( |
| − x) teraz za tego x wstaw −2x. |
| | 2 | |
16 mar 23:38
PrzyszlyMakler: Genialne. Kocham matematykę.
Ja spróbuję rozwiązać, a Tobie pokaże coś, czym się dziś zachwycałem. (niestety ja na to nie
wpadłem.
| | 1 | |
sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 − 2sin2xcos2x= 1 − |
| *4sin2xcos2x= |
| | 2 | |
| | 1 | |
= 1 − |
| (2sinxcosx) 2 |
| | 2 | |
16 mar 23:42
PrzyszlyMakler: Nie wyszło mi
Zrobiłem:
cos4x = cos (π/2 +2x)
| | 4x + π2 + 2x | | 4x − π2 − 2x | |
−2sin |
| * sin |
| = 0 |
| | 2 | | 2 | |
| | π | | π | |
−2sin(3x+ |
| )*sin(x− |
| )=0 |
| | 4 | | 4 | |
x = −
112π i x −
14π=0
16 mar 23:53
ZKS:
Jeszcze możesz dokończyć, ponieważ 2sin(x)cos(x) = ?
16 mar 23:53
PrzyszlyMakler: Co? Co?
16 mar 23:54
ZKS:
Pokaże schemat rozwiązywania bez tych wzorów.
cos(x) = cos(y)
x = y + k • 2π ∨ x = −y + k • 2π
16 mar 23:55
ZKS:
Mój post z 23:53 tyczył się Twojego postu o 23:42.
16 mar 23:55
PrzyszlyMakler: A to chyba potrzeba założenia, że x ≠ π/2, bo przecież dla 90 stopni cosinus jest 0, a zero
jest co kπ a nie 2kπ?
16 mar 23:57
PrzyszlyMakler: | | 1 | | 1 | |
To było zadanie z tożsamości. Ciąg dalszy to było 1− |
| *sin22x = 1 − |
| (1−cos22x) = |
| | 2 | | 2 | |
| | 1 | | 1 | | 1+cos22x | |
1 − 1/2 + |
| cos22x = 1/2 + |
| cos2x = |
| |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
cnu.
16 mar 23:59
PrzyszlyMakler: Spróbuję zrobić tym schematem, a powiesz mi co w 23:53 zrobiłem źle? Rozumiem, że nie
uwzględniłem 2kπ, ale to i tak się nie zgadza..
17 mar 00:03
ZKS:
Nic nie potrzeba taki jest schemat rozwiązywania.
Jak sam napisałeś cos(−x) = cos(x), więc cos(x) = cos(y) jest równy, kiedy
x = y + k • 2π ∨ x = −y + k • 2π, ponieważ co 2π mamy okres i rozwiązania będą się powtarzać,
co 2π.
17 mar 00:04
ZKS:
Zaraz spojrzę na Twój sposób z 23:53.
17 mar 00:04
17 mar 00:08
PrzyszlyMakler: Ok:
| | π | |
cos4x = cos ( |
| + 2x) v 4x = −{π}{2} − 2x + k*2π |
| | 2 | |
| | π | | kπ | |
4x = π/2 + 2x + 2k*2π X = − |
| + |
| |
| | 12 | | 3 | |
Ale to wciaż nie odpowiedź. Jestem załamany.
17 mar 00:12
ZKS:
Hej Metis. Zaraz zerknę.
17 mar 00:13
ZKS:
| | π | |
To sprawdź podstawiając przykładowo za x = |
| i zobacz co dostaniesz. |
| | 4 | |
17 mar 00:15
PrzyszlyMakler: W sumie to moim i Twoim spsoobem wyszło mi niemal to samo.
17 mar 00:16
ZKS:
Bo powinieneś dostać to samo, obydwa sposoby są poprawne, który wolisz zależy już od Ciebie.
17 mar 00:20
PrzyszlyMakler: | | π | |
Już wiem, gdzie błąd. W Twoim poście z 23:38 zasugerowałem się, że to jest cos( |
| − |
| | 2 | |
(−2)).. i to wszystko zrujnowało.
17 mar 00:20
PrzyszlyMakler: | | π | | π | |
cos( |
| − (−2x)) , a powinno być cos ( |
| − 2x) |
| | 2 | | 2 | |
Okej. Jeszcze raczej tego nie umiem, ale na pewno wiele się dowiedziałem. Umiałbyś wymyślić
przykład podobny do tego, na przetestowanie mnie? A jak nie, to dziękuję za wszystko. Bardzo
wiele mi pomogłeś.
17 mar 00:24
ZKS:
| | π | |
Dobrze zrobiłeś sin(−2x) = cos( |
| + 2x). |
| | 2 | |
17 mar 00:27
PrzyszlyMakler: | | π | | π | | kπ | |
Ok. Więc w takim razie nie ogarniam już. XD Odpowiedź to: |
| − kπ i |
| + |
| |
| | 4 | | 4 | | 3 | |
17 mar 00:29
ZKS:
W takim razie odpowiedź jest zła.
17 mar 01:19