Całka Benny: Doszedłem do całki takiej postaci:

	1
∫		dt
	√1+t2

Rozwiązałem ją podstawieniem Eulera. Moje pytanie brzmi jak inaczej można ją rozwiązać?

ICSP: podstawienie t = sh(x)

Benny: Nie bardzo jestem jeszcze obeznany w funkcjach hiperbolicznych i nie widzę zbytnio użycia tego podstawienia.

ICSP: i w funkcjach area. Możesz spróbować podstawić t = tg(x). Również powinno wyjsć.

Benny: W tych również, ale to się powinno zmienić Mógłbyś rozwinąć pierwszą myśl? Spróbuję to pociągnąć.

Mila: Taka całkę masz we wzorach, po co chcesz zaczynać od Adama i Ewy?

ICSP:

	ex + e−x
ch(x) =		≥ 1
	2

	ex − e−x
sh(x) =
	2

Jedynka hiperboliczna : ch²(x) − sh²(x) = 1 ( i naczej sh²(x) + 1 = ch²(x) ) Ponadto [sh(x)]' = ch(x) ≥ 1 > 0 ⇒ sh(x) jest funkcją różnowartościową i sh⁻¹(x) = arsinh(x) = ln(x + √x² + 1). Teraz spróbuj podstawić t = sh(x)

Benny: @Milu Znalazłem ten wzór, ale chciałem sprawdzić czy uda mi się rozwiązać bez znajomości @ICSP Znałem te własności. Pokombinuje i zobaczymy co z tego wyjdzie

Mila: ICSP, zerknij na drugie zadanie: https://matematykaszkolna.pl/forum/317184.html

ICSP: Mila. Równanie diofantyczne liniowe w postaci : ax + by = c ma rozwiązanie gdy (a,b) | c czyli z możliwości zaproponowanych przez kolegę : (15 , 20) = 5 | 50 (12 , 20) = 4 ~| (9 , 20) = 1 | 50 9 oraz 20

Mila: Dziękuję, ICSP. Tylko tyle, nie ma więcej możliwości?

Mila: Dobranoc

ICSP: Jest nieskończenie wiele możliwości. Wystarczy za a przyjąć dowolną liczbę pierwszą lub dowolną potęgę liczby pierwszej różnej od 2. Np a = 3³¹ Wtedy (a , 20) = (3³¹ , 20) = 1 | 50 Jednak to nadal nie są wszystkie możliwości

Benny: Jeśli jest tak jak mówisz to ta całka jest banalnie prosta.

	1
∫		dt=|t=sinhz, dt=coshzdz, z=arcsinht|=∫dz=z+C=arcsinht+C=ln|t+√1+t2|+C
	√1+t2

ICSP: .

Benny: Nie korzystając z podstawienia Eulera:

	1		1		dt
∫		dx=∫		dx=|2t=x−1, 2dt=dx|=∫		i z tego
	√x2−2x+5		x−1   2√(( )2+1)   2		√t2+1

wzoru jak poprzednio czy można szybciej?

ICSP: = a r s i n h (z) + C // to są funkcje area, nie arcusy.

ICSP:

	1		1
∫		dx = ∫		dx = |(x − 1) = 2sh(t)| = ...
	√x2 − 2x + 5		√(x − 1)2 + 4

Benny: Ok widzę, że te funkcje bardzo upraszczają, dzięki