całka trygonometryczna madzior:

	1
∫		Jak obliczyć?
	sin3(x)

Czy jest łatwiejszy sposób na taki typ całek niż podstawienie uniwersalne?

ICSP: Podstawienie t = cosx.

Jerzy:

	sin2x + cos2x
próbuj ..∫		dx
	sin3x

yyhy:

	1		sinx		−sinxdx
∫		dx=∫		{dx=−∫		={cosx=t, −sinxdx=dt}
	sin3x		sin4x		(1−cos2x)2

madzior:

	cos2x
Robiłam tak jak pisze Jerzy, ale wtedy zostaje z całką		i też jest problem.
	sin2x

Takim sposobem jak robi yyhy też próbowałam, ale przy rozkładzie na ułamki proste dostaję dokładnie to samo wyjściowe wyrażenie, spróbuję jeszcze raz, może robiłam błąd w obliczeniach. Najłatwiej jest chyba tak jak zaproponował ICSP tyle, że to kolejne podstawienia do nauczenia na pamięć ile jest sin, cos, dx itd.

yyhy:

	1
∫		dt
	(1−t2)2

nawet nie wiem czy ta całka nie jest w tablicach.. na pewno to nic strasznego!

madzior: Tak, masz rację, za pierwszym razem jak to liczyłam o nie rozłożyłam na (1−t)(1+t) i mi głupoty powychodziły. Dziękuję bardzo za pomoc

Jerzy:

	cos2x		1
a gdzie problem z całką		? = ∫		dx − ∫dx
	sin2x		sin2x

Jerzy: obydwie elementarne

madzior:

	cos2x
Tak, z taką nie ma problemu, tylko że tam powinna dostajemy		(z szybkości źle
	sin3x

napisałam o 15:44) i z tą jest problem

Jerzy: fakt ... czyli prościej podstawić: cosx = t

madzior: ale przy podstawieniu muszę się nauczyć na pamięć kolejnych rzeczy, a już i tak tego sporo jest przy całkach trygonometrycznych

Jerzy: trudno

madzior: pocieszające Dziękuję za pomoc!

madzior: A jeszcze mam pytanie odnośnie podstawiania t=sinx lub t=cosx, czy podstawiam tak, żeby mi pasowało do przykładu czy trzeba sprawdzać za każdym razem tak jak jest w podręcznikach czyli (dla t=cosx) czy R(−u,v)=−R(u,v)?

yyhy: tam są jakieś reguły..ale moim zdaniem..to bardzo głupie uczyć się ich na pamięć (właśnie ztym R co podałas..) Jak zrobisz apre przykładów tego typu to bedziesz to widziała

Jerzy: po 100 całkach nabierzesz rutyny

madzior: Dziękuję Wam jeszcze raz!

madzior:

	1
Liczę dalej ten przykład sposobem yyhy i dostałam taki ułamek		i teraz z tym ma
	t2+1)2

problem. Pomożecie?

yyhy:

	1
Chodzi ci o policzenie całki ∫		dt
	(1+t2)2

madzior:

	1		1
Przepraszam was, nie dostałam takiego ułamka tylko		i
	(t+1)2		(1−t)2

madzior: O kurde, jakie to proste podstawienie. Idę odpocząć i już więcej nie zawracam głowy.

yyhy:

	1		1		s−1
∫		dt={1+t=s, dt=ds}=∫		ds=∫s−2ds=		+C=−s−1+C=−(1+t)−1 +C
	(1+t)2		s2		−1

	1
=−		+C
	1+t

yyhy: nooo .. Odpocząć też wartoo!

madzior: Choć z drugiej strony nie wiem jak policzyć taką całkę jak napisałam za pierwszym razem, tj.:

	1
	(1+t2)2

yyhy:

1		t
	(		+arctg(t)) + C
2		t2+1

Możesz ją uznać za "tablicową". Da się do tego dojść (całkowanie przez części).

azeta:

	dt		1+t2		t2
∫		=∫		dt−∫		dt
	(1+t2)2		(1+t2)2		(1+t2)2

i tu już przez części jest na nią wzór rekurencyjny w Krysickim, o ile dobrze kojarzę

yyhy: Warto jednak sprawdzić, że to jest to:

1		t
	[		+arctg(t) ]'
2		1+t2

	1		1+t2−t*(2t)		1
=		*[		+		]
	2		(1+t2)2		1+t2

	1		1−t2		1+t2
=		[		+		]
	2		(1+t2)2		(1+t2)2

	1		2
=		[		]
	2		(1+t2)2

	1
=
	(1+t2)2

madzior: Próbuję przez części, ale tylko coraz bardziej skomplikowane wychodzą

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/316103.html

Mariusz:

	dx		cos2(x)+sin2(x)
∫		=∫		dx
	sin3(x)		sin3(x)

	dx		cos(x)		dx
∫		=∫cos(x)		dx+∫
	sin3(x)		sin3(x)		sin(x)

	dx		1	cos(x)		1		dx		dx
∫		=−			−		∫		+∫
	sin3(x)		2	sin2(x)		2		sin(x)		sin(x)

	dx		1	cos(x)		1		dx
∫		=−			+		∫
	sin3(x)		2	sin2(x)		2		sin(x)

	dx		1	cos(x)		1		dx
∫		=−			+		∫
	sin3(x)		2	sin2(x)		2		x   x   2sin( )cos( )   2   2

	dx		1	cos(x)		1		dx
∫		=−			+		∫
	sin3(x)		2	sin2(x)		2		x   x   2tan( )cos2( )   2   2

	dx
∫
	x   x   2tan( )cos2( )   2   2

	x
t=tan(		)
	2

	dx		1
dt=
	x   cos2( )   2		2

	dx
dt=
	x   2cos2( )   2

	dt
∫		=ln|t|+C
	t

	dx		1	cos(x)		1		x
∫		=−			+		ln|tan(		)|+C
	sin3(x)		2	sin2(x)		2		2