Wielomiany i liczby zespolone piwkowa: Sprawdź czy jednym z pierwiastków wielomianu W(x)=x⁴+6x²+25 jest x₁=−1+2i. Znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu oraz napisac jego rozkład na nierozkładalne czynniki rzeczywiste. Jak się do tego zabrać?

kochanus_niepospolitus: no to wstawiasz: W(−1+2i) = ... jeżeli =0 to jest to pierwiastek i od razu masz drugi pierwiastek (sprzężenie x₁) później dzielisz i odnajdujesz dwa pozostałe pierwiastki

piwkowa: I tu pojawia się problem, bo jeżeli tak podstawie to muszę obliczyć (−1+2i)⁴ a moduł z tego wychodzi mi √5 przez co nie mogę obliczyć wartości fi bez mocnych tablic, których nie mam

piwkowa: Ponieważ żeby obliczyć (−1+2i)⁴ muszę przerobić to na postać trygonometryczną

kochanus_niepospolitus: (−1+2i)⁴ = ((−1+2i)²)² = (1 − 4i + 4i²)² = (1 − 4i − 4)² = (−3 − 4i)² = (9 + 24i + 16i²) = = 9 − 16 + 24i = −7 + 24i tak trudno 'na piechotę' policzyć ?

kochanus_niepospolitus: A po cholerę przerabiać na trygonometryczną? Kto Cię do tego zmusza?

Benny: W(2i−1)=(2i−1)⁴+6(2i−1)²+25 W(2i−1)=(−3−4i)²+6(−3−4i)+25 W(2i−1)=−7+24i−18−24i+25=0

PW: Nie musisz, Algebra działa − liczymy najpierw (−1 + 2i)² = 1 − 4i − 4 = −3 − 4i, i potem jeszcze raz do kwadratu.

piwkowa: W sumie masz rację, tak mnie jakoś nauczyli, żeby wyższe potęgi przerabiać na trygonometryczne i nie zauważam prostszych rozwiązań

piwkowa: Dobra, obliczone. Czyli W₀=(−1+2i) W₁=(−1−2i) tak? I co teraz przez co mam podzielić? Wybaczcie, ale wielomiany to dla mnie czarna magia

Benny: Nic nie musisz dzielić jest to zwykłe równanie dwukwadratowe. Podstaw t=x² i licz deltę

piwkowa:

	2pi		2pi
A czy mogę teraz skorzystać ze wzoru Wk=Wk−1 (cos		+ isin		?
	n		n

	2pi
Wyszłoby mi (−1−2i)(cos		+ ...) itd
	4

Wtedy W₃ = −2−i W₄ = 2−i

piwkowa: Ok, t=x² podstawione. Delta wyszła ujemna ( √−64), więc robię P{i²*64} = √i² * √64 = |i|*8 wiec Delta = k{ −8i & 8i} Obliczam t1 i t2 i wychodzi mi inny wynik niż jak użyję tego wzoru W_k=W_k−1... t1= −3−4i t2=−3+4i

Benny: No i dobrze, że inny, bo tego wzoru się tutaj nie stosuje.

piwkowa: Mhm... W tkaim razie to t₁ i t₂ jest poprawne tak? W₂=t₁ i W₃=t₂ ? Pytam dla pewności A jak z tym rozkładem na czynniki nierozkładalne? O co w tym chodzi?

PW: O 16:52 kochanus₋niepospolitus podał schemat rozwiązania. Napiszę dokładniej, bo pewnie nie znasz tego twierdzenia. Wiadomo, że jeżeli z₀ jest pierwiastkiem wielomianu o całkowitych współczynnikach, to pierwiastkiem jest również z̅₀. Wielomian musi się więc dzielić przez oba dwumiany: (z − z₀) oraz (z − z̅₀) a w konsekwencji przez ich iloczyn (z − z₀)(z − z̅₀). Po sprawdzeniu, że −1 + 2i jest pierwiastkiem, już jego sprzężenia nie trzeba sprawdzać − na pewno jest. Dowcip rozwiązania polega na tym, że nie dzielimy kolejno przez (z − z₀) oraz przez (z − z̅₀), ale przez ich iloczyn, który jest zwykłą funkcją kwadratową (nierozkładalną w zbiorze wielomianów nad ciałem R). Trudne, nieprawdaż?

piwkowa: Ok, czyli mam podzielić ten wielomian przez (−3−4i − (−1+2i))(−3−4i − (−1−2i))? Bo z tego co zrozumiałem to z₀ = −1+2i a zwykłe z? To ta druga para rozwiązań? Jeśli tak to dlaczego używamy modułu tylko jednego z nich?

PW: Panie mój, daj mi cierpliwość. Gdzie pogubiłaś "z"? Dzielić masz przez wielomian, a nie przez liczby. O 18:13 jest wszystko napisane, tylko zechciej zrozumieć. Zamiast zmiennej "x" pisałem zmienną "z", ale to chyba nie stanowi o stopniu trudności..

piwkowa: Czekaj czekaj czekaj... Rozumiem, że mam dzielić przez wielomian, a nie przez liczbę. Tylko nie wiem jak wyliczyć ten wielomian. Mówisz o funkcji kwadratowej, ale jak ona ma wyglądać? Nie wiem co mam podstawić pod x ale nie chodzi mi o liczbę! Rozumiem ze będę dzielić x⁴ + 6x² + 25 przez jakąś funkcję kwadratową, ale nie mam pojęcia jaką i skąd ją wziąć Przepraszam, że tak Cię męczę, ale strasznie ciężko mi to zrozumieć. Z tym z chodzi mi o to, że we wzorze który podałeś (tzn. (z−z₀)(z−z₀ (nie wiem jak zrobić tą kreskę)) znam tylko z₀ czyli −1+2i. A z? Rozumiem ze to ma być x⁴+6x²+25 / (z−z₀)(z−moduł z₀) I jeszcze pytanie dotyczące t₁ i t₂, czy skoro t = x² to czy muszę obliczyć pierwiastek z t₁ i t₂? Czy po prostu t₁ jest już pierwiastkiem tego wielomianu? Chyba nie, bo jeśli zrobię √t₁ to wyjdą mi kolejne 2 pierwiastki i razem bedzie 6, a to o 2 za dużo

Benny: Będą 4 rozwiązania, a nie 6. PW chce abyś zrobiła funkcje kwadratową: (x−z₀)(x−z₀')=(x−(2i−1))(x+(2i+1))=x²+2ix+x−2ix+x+5=x²+2x+5 Wielomian masz podzielić przez otrzymaną funkcje kwadratową.

PW: Na "i jeszcze pytanie" nie odpowiadam, bo to inna koncepcja. To co nazywasz modułem (z z kreską) to jest sprzężenie liczby z − coś innego niż moduł. Wygląda, że nigdy nie dzieliłeś wielomianu przez wielomian. W(z) musi się dać podzielić przez (z − z₀)(z − z̅₀) = (z − (−1 + 2i))(z − (−1−2i)) − te dwa ostatnie czynniki wymnożone przez siebie dadzą funkcję kwadratową, przez którą będziesz dzielić, i będzie to funkcja "bez liczb zespolonych", ale zrób to samodzielnie, może najpierw na symbolach: (z − z₀)(z − z̅₀) = ... i dopiero podstaw dane.

PW: Benny, jeszcze tylko dzielenie mu zrobimy i można kopiować

Benny: Na to wygląda Swoją drogą, możesz zajrzeć? https://matematykaszkolna.pl/forum/315987.html

piwkowa: Tiaa... Dzięki Benny, teraz rozumiem o co chodziło. PW niefortunnie użyłeś z i z₀, przez co nie mogłem zrozumieć o co Ci chodzi. I wcale nie mówiłem, że miałem wcześniej do czynienia z dzieleniem wielomianów Podzieliłem, wyszło x²−2x−1 do tego reszta 14x+30. Co teraz?

piwkowa: Mam rozbić jeszcze mocniej to x²+2x+5? W sensie, że (x+1)(x+1)+4 ?

kochanus_niepospolitus: piwkowa −−− to jak Ty skończyłeś liceum/technikum x²+2x+5 <−−− liczysz Δ i wyznaczasz kolejne dwa pierwiastki delta wyjdzie ujemna (to nic w końcu działasz w ciele liczb zespolonych)

Benny: Coś chyba nie bardzo to dzielenie. Nie zdziwiło Cię to, że dostałeś resztę?

piwkowa: Długa historia, nie ma sensu do niej wracać. Ważne, że teraz chce to nadrobić. No i mam, kolejny raz x₁ = −1+2i oraz x₂ = −1−2i To przypadek, że wyszły już takie jak były wcześniej?

piwkowa: Nie Z kolegą rozwiązywałem wcześniej inne zadanie i też wyszła reszta o.O Bo chyba nie zawsze wielomian sie podzieli bez reszty?

kochanus_niepospolitus: źle policzyłeś ... winny wyjść 4 RÓŻNE pierwiastki

piwkowa: Czekaj czekaj, a ja nie obliczyłem tych pierwiastków już wcześniej? −1+2i , −1−2i (to z tego co podstawiłem W_−1+2i) i do tego 2 pierwiastki −3+4i , −3−4i z tego że zrobiłem t=x² i z delty je obliczyłem (to −3+4i i −3−4i)?

kochanus_niepospolitus: nie zgaduj tylko policz DOBRZE

kochanus_niepospolitus: WSKAZÓWKA: źle podzieliłeś

piwkowa: Masz rację − podzieliłem x⁴ + 6x + 25 zamiast x⁴ + 6x² + 25... Zaraz poprawię

piwkowa: Ok, z wielkim bólem i potem podzieliłem Wynik to x² − 2x + 5 Obliczyłem deltę = √−16 = 4i lub −4i x₁ = 1+2i x₂ = 1−2i A z wcześniejszego x₃ = −1+2i x₄ = −1−2i Może mi ktoś powiedzieć po co wcześniej liczyłem to t₁ i t₂?

piwkowa: No i oprócz tego mam rozłożyć to na nierozkładalne czynniki rzeczywiste. Jak?

kochanus_niepospolitus: ooo ... i teraz masz dobrze

Benny: Liczyłeś ponieważ był to jeden ze sposobów. Dostałeś jakieś t₁ oraz t₂, ale t=x², więc x₁=√t₁, x₂=−√t₁, x₃=√t₂, x₄=−√t₂

piwkowa: Wcześniej też o to spytałem, ale dostałem inna odpowiedź Rzeczywiście wyjdzie to samo, dobrze wiedzieć, bo to chyba szybsza metoda (szczególnie z moim dzieleniem wielomianów) Wiem, zabrałem już kupe czasu, ale nie czaje o co biega w tym rozkładzie na czynniki. Wiem, że muszę to porozbijać na jakieś nawiasy