Rekurencja Magda: Mam pewien problem z rozwiązaniem rekurencji a_n=6a_n−1−5a_n−2+4 z warunkami początkowymi a₁=5 i a₂=4. Rozwiązanie jednorodne wychodzi mi c₁+c₂*5ⁿ tylko problem polega na tym, że przy liczeniu rozwiązania niejednorodnego, niewiadome cały czas mi się upraszczają. Na pewno robię coś nie tak, tylko co?

Arturek_lat_7: To pokaz swoje obliczenia, spojrzymy na nie

Magda: a_n=j_n+n_n j_n=6j_n−1−5j_n−2 x_(j)=x²−6x+5=(x−1)(x−5) j_n=c₁*1ⁿ+c₂*5ⁿ=c₁+c₂*5ⁿ n_n=A A=6A−5A+4 no i tutaj pojawia się problem. Chyba że rozwiązanie niejednorodne mam źle przewidziane.

C: ?

Mariusz: https://matematykaszkolna.pl/forum/315562.html

Godzio: Bez funkcji tworzących można np tak: a_n = 6a_{n − 1} − 5a_{n − 2} + 4 a_{n + 1} = 6a_n − 5a_{n − 1} + 4 odejmujemy −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a_n − a_{n + 1} = 11a_{n − 1} − 6a_n − 5a_{n − 2} a_n+1 − 7a_n + 11a_{n − 1} − 5a_{n − 2} = 0 r³ − 7r² + 11r − 5 = 0 (r − 1)²(r − 5) = 0 Wtedy mamy rozwiązanie: a_n = A * 5ⁿ + 1ⁿ * (B + Cn) Wyznaczmy jeszcze a₃ = 6a₂ − 5a₁ + 4 = 24 − 25 + 4 = 3 (można podejrzewać, że kolejne wyraz to 2,1,−1,itd.) 5 = 5 * A + B + C 4 = 25 * A + B + 2C 3 = 125 * A + B + 3C Odejmuje (2) − (1) oraz (3) − (2) otrzymując: − 1 = 20 * A + C −1 = 100 * A + C znów odejmuję (2) − (1) −−−−−−−−−−−−−− 0 = 80A A = 0 C = −1 5 = B − 1 ⇒ B = 6 a_n = 6 − n

Mariusz: No tak ale skąd założenie że rozwiązanie tej rekurencji jest postaci λⁿ i dlaczego w przypadku pierwiastka wielokrotnego zakładasz rozwiązanie postaci λⁿ(A+Bn) Sposób który pokazałeś to skrótowiec który wymaga zapamiętywania wielu rzeczy bez uzasadnienia Używając funkcji tworzących każdy następny krok obliczeń wynika z poprzedniego wystarczy tylko wstawić funkcję zdefiniowaną w postaci szeregu potęgowego którego współczynniki są kolejnymi wyrazami ciągu Postać rozwiązania wynika wtedy z otrzymanego szeregu geometrycznego a w przypadku pierwiastków wielokrotnych także z różniczkowania szeregu geometrycznego

jc: Mariusz, Procedura ma swoje algebraiczne uzasadnienie. Równanie rekurencyjne postaci x_n=Ax_n−2 +Bx_n−1 zapisujemy jako iterację przekształcenia liniowego : F(x,y) =(y, Ax+By) (x_n, x_n+1) = Fⁿ (x₀, x₁) W przypadku równan niejednorodnych musimy jeszcze trochę popracować ... Ale nie trzeba pamiętać skąd taka postać, cieszymy się, że mamy rozwiązanie. W naszym konkretnym zadaniu wystarczyło sprawdzić, że a_n=6−n jest rozwiązanie, a tak prosty wynik mozna bylo odgadnąć.

jc: Odpowiedź dla Magdy: Rozwiązanie faktycznie jest źle przewidziane. W tym wypadku trzeba wziąć A+Bn zamiast A, bo stała jest rozwiązaniem równania jednorodnego.

Mariusz: @jc musiałbyś dokładniej opisać uzasadnienie tej procedury abym uznał że można ją stosować Skąd założenie że rozwiązanie jest postaci λⁿ a w przypadku pierwiastków wielokrotnych W(n)λⁿ oraz skąd wiadomo jak należy przewidywać część niejednorodną Odpowiedź na te pytania pozwoli uniknąć błędu który popełniła Magda Funkcje tworzące są dla mnie wygodniejsze bo jak sam zauważyłeś z niczego nie trzeba się tłumaczyć

jc: @Mariusz Tym razem odeślę do książki dla dzieci (na prawdę autor pokazuje, jak pewnych rzeczy, w tym przestrzeni wielowymiarowych, uczyć dzieci 8 klasy). W.W. Sawyer „Droga do matematyki współczesnej” W internecie można znaleźć wydanie angielskie. Na prawdę polecam! Mozna oczywiście bezpośrednio. a_n+1 = A a_n + B a_n−1. Szukamy rozwiązan postaci a_n = zⁿ. Prowadzi to do równania kwadratowego z² = Az + B. Jesli nie ma pierwiastów wielokrotnych to mamy dwa bazowe rozwiązania z₁ i z₂ⁿ, w przypadku pierwiastka wielokrotnego mamy z₁ⁿ i n * z₁ⁿ Jako a_n bierzemy kombinację liniową rowiązan bazowych dobierając współczynniki, aby być w zgodzie z warunkami początkowymi. Wszystko łatwo uogólnić. Ale wszystko staje się jasne, gdy rozpatrzymy równanie wektorowe, tak jak wczesniej wspomniałem, i jak opisane jest w zacytowanej książeczce.

Mariusz: Jeżeli nie chcemy korzystać z funkcji tworzących to może lepiej jednorodne rozwiązać przekształcając je w układ równań i korzystając z wartości i wektorów własnych Rozwiązanie równania niejednorodnego znajdujemy metodą Lagrange (uzmiennianie stałych) (tutaj przydatny będzie rachunek różnicowy)