Rekurencja Przemysław: Niby nietrudne, a coś pomieszałem: Znaleźć wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu zadanego rekurencyjnie: a_n=6a_n−1−5a_n−2+4 z warunkami brzegowymi: a₁=5, a₂=4 podzieliłem na część jednorodną i niejednorodną: a_n=j_n+p_n j_n=6j_n−1−5j_n−2 ... j_n=c₁*5ⁿ+c₂ Dalej: przewidywana postać części niejednorodnej: p_n=C*n ... C=−1 p_n=−n Wstawiam całość do warunków brzegowych: i dostaję równania: 5=c₁*5+c₂−1 4=c₁*25+c₂−2 i po rozwiązaniu okazuje się, że c₁=0, c₂=6: a_n=6−n, co jest oczywiście źle już dla a₃. Jeżeli ktoś byłby tak miły, to gdzie jest błąd?

Mariusz: Nie lepiej z funkcji tworzących było skorzystać ? A(x)=∑a_nxⁿ 4=6*5−5*a₀+4 0=6*5−5*a₀ a₀=6 ∑_n=2^∞a_nxⁿ=6∑_n=2^∞a_n−1xⁿ−5∑_n=2^∞a_n−2xⁿ+∑_n=2^∞4xⁿ

	4x2
∑n=2∞anxn=6x∑n=2∞an−1xn−1−5x2∑n=2∞an−2xn−2+
	1−x

	4x2
∑n=2∞anxn=6x∑n=1∞anxn−5x2∑n=0∞anxn+
	1−x

	4x2
∑n=0∞anxn−6−5x=6x(∑n=0∞anxn−6)−5x2∑n=0∞anxn+
	1−x

	4x2
A(x)−6−5x=6x(A(x)−6)−5x2A(x)+
	1−x

	4x2
A(x)(1−6x+5x2)=−31x+6+
	1−x

	4x2+(−31x+6)(1−x)
A(x)(1−x)(1−5x)=
	1−x

	−31x+6+31x2−6x+4x2
A(x)=
	(1−x)2(1−5x)

	35x2−37x+6
A(x)=
	(1−x)2(1−5x)

35		37		30		7−37+30
	−		+		=		=0
25		5		5		5

−7x+6 35x²−37x+6:(−5x+1) 35x²−7x 0x²−30x+6 −30x+6 0x+0

	−7x+6
A(x)=
	(1−x)2

	−7x+7−1
A(x)=
	(1−x)2

	7		1
A(x)=		−
	1−x		(1−x)2

	1
∑xn=
	1−x

d		d	1
	∑xn=
dx		dx	1−x

	1
∑nxn−1=−		(−1)
	(1−x)2

∑_n=1^∞nxⁿ⁻¹=U{1}{(1−x)² ∑_n=0^∞(n+1)xⁿ=U{1}{(1−x)² A(x)=∑7xⁿ−∑(n+1)xⁿ a_n=7−(n+1) a_n=6−n

Kacper: Podziwiam, że chciało się tyle pisać

Mariusz: Jak miałem funkcje tworzące na lekcji to nie nadążałem przepisywać z tablicy i te skrótowe metody zdawały mi się wygodniejsze Jednak teraz bardziej je doceniam bo wystarczy ją wstawić i równanie samo się rozwiązuje no i są takie równania rekurencyjne jak równanie na liczby Catalana czy chociażby liniowe ale o zmiennych współczynnikach (W takim przypadku wykładnicze funkcje tworzące i wzór Leibniza mogą być bardziej przydatne W szczególnych przypadkach pozwalają uniknąć równania różniczkowego) W przypadku tych skrótowców dużo jest zapamiętywania bez uzasadnienia Używałem copy&paste więc aż tak dużo pisania nie było

jc: Odpowiedź na pytanie: Gdzie błąd? Nie ma błedu: a₃ = 6 a₂ − 5 a₁ + 4 = 6 x 4 − 5 x 5 +4 = 3, wg drugiego wzoru a₃ = 6−3 = 3. Tyle samo! Funkcje tworzace w tym zastosowaniu są dobrą reklamą szeregu geometrycznego. Pierwszy sposób wyjaśnia natomiast, jak rozwiązywać liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach.

Mariusz: jc pozwól że sparafrazuje twój cytat Gdybym był nauczycielem zapytałbym o uzasadnienie przypadków w metodzie przewidywania a także uzasadnienie postaci rozwiązania równania jednorodnego (np wielokrotne pierwiastki) Poza tym skąd założenie że rozwiązanie jest postaci λⁿ

jc: Masz rację z tym przewidywaniem i uzasadnieniem. Używając funkcji tworzącej z niczego się nie trzeba tłumaczyć. Można jednak zawsze powiedzieć, że się odgadło wynik (w naszym zadaniu wystarczyło wypisać kilka wyrazów). Z liczbami Catalana nawet sprawdzenie nie jest proste.

Mariusz: Jeżeli chodzi o równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach to rzeczywiście tam stosuje się metodę zaproponowaną w pierwszym wpisie chociaż także można je całkować szeregiem potęgowym

Przemysław: Dziękuję Wam bardzo. Przepraszam za późną odpowiedź − dopiero zauważyłem.