Zadanie na dowód Michał: Teza: a+b=1 Założenie: a⁴+b⁴≥1/8 Jak to udowodnić inaczej niż przy zależności między średnimi?

Jack: https://matematykaszkolna.pl/forum/99698.html

PW: Michał, mylisz założenie z tezą.

Jack: ta teze chyba by bylo ciezko wykazac : D

PW: Spróbujmy elementarnie. Zastosujmy oczywistą nierówność x² + y² ≥ 2xy, w której połóżmy x = a² i y= b². Otrzymamy a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² (1) a⁴ + b⁴ ≥ 2(ab)².

	1		1
Założenie a + b = 1 oznacza, że dla pewnej liczby x∊(−		,		)
	2		2

	1		1
a =		+ x i b =		− x;
	2		2

podstawienie tego do prawej strony (1) daje

	1		1		1		1
(2) a4 + b4 ≥ 2[(		+x)(		− x)]2, x∊(−		,		)
	2		2		2		2

Zauważmy, że ograniczenie liczby x nie wynika z założenia, ale jest oczywiste, gdyż dla liczb a lub b większych od 1 lub mniejszych od −1 nie ma czego dowodzić, − lewa strona badanej nierówności jest większa od 1. Nierówność (2) jest prawdziwa dla wszystkich x z dziedziny, w szczególności dla x = 0:

	1		1		1		1
a4 + b4 ≥ 2(		·		)2 = 2·		=		,
	2		2		16		8

co kończy dowód. Uwaga: Jak łatwo zauważyć, dla x = 0 nierówność (2) staje się równością, mamy wtedy

	1
a = b =
	2

i w konsekwencji

	1		1		1
(		)4 + (		)4 =		.
	2		2		8

Eta:

Michał: A jak zrobić? Założenie: x,y,z są dodatnie i xy+yz+zx>x+y+z Teza: x+y+z>3