algebra Maciej: Pomocy Przestrzenie liniowe Udowodnij, że zbiór rozwiązań układu Ax = 0, A ∊ R^{n x n} jest podprzestrzenią liniową w Rⁿ.

Maciej: ?

nano: Musisz wykazać, że dla dowolnych dwóch rozwiązań x₁,x₂ tego układu ich suma x₁+x₂ także jest jego rozwiązaniem oraz dla dowolnej liczby α∊R iloczyn α*x także jest rozwiązaniem

Maciej: mógłbyś pokazać jakby miał zacząć to robić ? bo nie wiem jak zacząć

Maciej: Ax₁ = 0 Ax₂ = 0 A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂ = 0 + 0 = 0 w taką stronę ?

nano: Sumę dobrze zrobiłeś, a iloczyn robi się tak samo

Maciej: A * α * x = 0 A * (αx) = (A * α) * x = 0

nano: Bardziej A*(αx)=(A*α)*x=(α*A)*x=α*(A*x)=α*0=0

Maciej: Tylko mam wątpilwość bo mnożenie macierzy nie jest przemienne, czy mnożenia przez skalar tego nie obowiązuje ?

Maciej: Mam jeszcze drugą część zadania, muszę podać przykład bazy tej podprzestrzeni, dla [ 2 1 3 ] A = [ 1 0 2 ] [ 3 1 5 ] Czy mam po prostu rozwiązać:

⎧	2x1 * x2 + 3x3 = 0
⎨	x1 + 2x3 = 0
⎩	3x1 + x2 + 5x3 = 0

czy jak ?

nano: Musisz po prostu rozwiązać układ i znaleźć bazę tej podprzestrzeni

Maciej: x₁ = −2x₃ −2x₃ + x₂ + 5x₃ = 0 3x₃ + x₂ = 0 x₂ = −3x₃ −4x₃ − 3x₃ + 3x₃ = 0 −4x₃ = 0

⎧	x1 = 0
⎨	x2 = 0
⎩	x3 = 0

Maciej: ?

nano: Pomyliłeś się w obliczeniach. (0,0,0) nie jest na pewno jedynym rozwiązaniem, bo układ jest nieoznaczony, czyli opisuje prostą lub płaszczyznę.

Maciej: zgadza się, błąd w obliczeniach, wychodzi:

⎧	x1 = −2x3
⎩	x2 = x3

x₃ = a, a ∊ R (−a, a, a) = a(−1, 1, 1) ? taka jest baza ?

Maciej: ?

nano: Bazą jest wektor (−2,1,1) (w ostatniej linijce źle przepisałeś)

Maciej: tylko ten jeden wektor ? może tak być w ogóle ?

nano: Może tak być. Jeden wektor generuje podprzestrzeń jednowymiarową, czyli w tym przypadku prostą przechodzącą przez (0,0,0)

Maciej: dziękuję a mógłbyś spojrzeć tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/312839.html