aw Adam: Wzór rekurencyjny Znajdź wzór ogólny Udowodnij indukcyjnie, że jest poprawny f(1) = 1/2

	1
f(n+1) = f(n) +
	(n+1)(n+2)

Nie rozumiem tego, niech ktoś mi to rozwiąże z wypisanymi 3 krokami induukcyjnimi

Adam: albo może źle przepisałem przykład?

Qulka: 1/2 , 2/3 , 3/4 , 4/5 ... f(n)=1−1/(n+1)

Adam: nie rozumiem, i to wynik, tak?

Adam: to znaczy odpowiedź?/

Qulka: policzone pierwsze 4 wyrazy ... i pod spodem wzór ogólny

Adam: ale jak doszłaś do tego wzoru?

Adam: nie ma jakieś algorytmu na to?

Qulka: na rekurencję ? nie ma na takie ułamki.. praktyka

Adam: A jak zrobić takie coś: Udowodnij , że funkcja zdefniowana rekurencyjnie ma dany wzór ogólny f(1) = 1, f(n+1) = f(n)+(n+1) wz. ogólny

	n(n+1)
fn =
	2

Qulka: bo to ciąg 1 , 1+2 , 1+2+3 , 1+2+3+4 , ...... zatem suma ciągu arytmetycznego więc wzór na f(n) jak zapisałeś https://matematykaszkolna.pl/strona/264.html drugi od dołu

Adam: ale jak to udowodnić?

Adam: Quelka, masz jakieś dobre ksiażki do fizyki z rysunkami? Chodzi mi o teorię.

Qulka: kąkol

Adam: super! dzięki a , kiedyś wrzucałaś tutaj skan jednej strony z książki do fizyki na studia, i tam były wektory, taka kolorowa z rysunkami, może pamiętasz? to było dawno

Mariusz: @Qulka nie do końca nie ma to równanie wygląda jak po czynniku sumacyjnym i wystarczy zsumować część niejednorodną f(0)=0

	1
f(n)=f(n−1)+
	(n)(n+1)

	1
f(n)=0+∑k=1n
	k(k+1)

Można było też spróbować całkować szereg geometryczny dla części niejednorodnej i skorzystać z funkcji tworzącej

jc: Ulamki proste − jak przy calkowaniu.

1		1		1
	=		−
n(n+1)		n		n+1

Mariusz:

	1
jc pomoże to obliczyć tę sumę tj ∑k=1n
	k(k+1)

	1
f(n+1)=f(n)+
	(n+1)(n+2)

	1
f(n)=f(n−1)+
	n(n+1)

1		1
	=f(0)+
2		1*2

f(0)=0 F(x)=∑_n=0^∞f(n)xⁿ

	1
∑n=1∞f(n)xn=∑n=1∞f(n−1)xn+∑n=1∞		xn
	n(n+1)

	1
∑n=1∞f(n)xn=x∑n=1∞f(n−1)xn−1+∑n=1∞		xn
	n(n+1)

	1
∑n=0∞f(n)xn−0=x∑n=0∞f(n)xn+∑n=1∞		xn
	n(n+1)

	1
F(x)=xF(x)+∑n=1∞		xn
	n(n+1)

	1
F(x)(1−x)=∑n=1∞		xn
	n(n+1)

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

	1
∫∑n=0∞xndx=∫		dx
	1−x

	1		1
∑n=0∞		xn+1=ln|		|
	n+1		1−x

	1		1
∫∑n=0∞		xn+1=∫ln|		|dx
	n+1		1−x

	1		1		−1
∑n=0∞		xn+2=xln|		−∫(1−x)		*(−1)*xdx
	(n+1)(n+2)		1−x		(1−x)2

	1		1		−x
∑n=0∞		xn+2=xln|		+∫		dx
	(n+1)(n+2)		1−x		1−x

	1		1		1−x−1
∑n=0∞		xn+2=xln|		+∫		dx
	(n+1)(n+2)		1−x		1−x

	1		1		1
∑n=0∞		xn+2=xln|		|+x−ln|		|
	(n+1)(n+2)		1−x		1−x

	1		1
∑n=0∞		xn+2=(x−1)ln|		|+x
	(n+1)(n+2)		1−x

	1		1
∑n=1∞		xn+1=(x−1)ln|		|+x
	n(n+1)		1−x

	1		x−1		1
∑n=1∞		xn=		ln|		|+1
	n(n+1)		x		1−x

	x−1		1
F(x)(1−x)=		ln|		|+1
	x		1−x

	1		1		1
F(x)=		−		ln|		|
	1−x		x		1−x

Aby rozwinąć funkcję F(x) w szereg można skorzystać z szeregu geometrycznego a następnie wzoru Leibniza

Mariusz: Nawet nie trzeba wzoru Leibniza ,wystarczy rozwinąć logarytm ze wzoru Taylora (z pochodnymi)

jc: A jak policzyć taką sumę: f(1)+f(2)+...+f(n),

	1
gdzie f(k) =
	k(k+1)(k+2)(k+3)

Mariusz: jc chyba coś ci nie wyszło przy obliczaniu tej sumy rozkład na sumę ułamków prostych nie pomoże tylko rachunek różnicowy

	1
Sumę możemy zapisać w postaci ∑k=0n−1
	(k+1)(k+2)

Pod znakiem sumy mamy dolną silnie Sumujemy analogicznie do całkowania a dolna silnia jest odpowiednikiem potęgi

	1
∑0n
	(k+1)(k+2)

	1		1
∑		=−
	(k+1)(k+2)		k+1

	1		1
∑0n		=−		−(−1)
	(k+1)(k+2)		n+1

	1
=1−
	n+1

Mariusz: Udowodnij , że funkcja zdefniowana rekurencyjnie ma dany wzór ogólny f(1) = 1, f(n+1) = f(n)+(n+1) wz. ogólny

	n(n+1)
fn=
	2

Tutaj powinna wystarczyć indukcja

jc: To było zadanie, nie rozwiązanie. W tym rachunku akurat nie rozkładamy na ułamki proste. A ile wynosi suma? chodzi o zadanie z poczwórnym iloczynem w mianowniku.

jc: Zadanie Mariusza. Czy to dla dla mnie? Przecież wynik jest znany. A propos rachunku różnicowego. To może najlepszy sposób na sumę k−tych potęg kolejnych liczb, np. 1⁴+2⁴+...+n⁴ = ...

Mariusz: "Przecież wynik jest znany " no tak ale Qulka znalazła go metodą zgaduj zgadula i napisała że nie ma żadnych sposobów na liczenie takich rekurencji więc pozwoliłem sobie zauważyć że równanie wygląda jak po zastosowaniu czynnika sumacyjnego a także że funkcja tworząca też tutaj działa Tak możesz za pomocą rachunku różnicowego znaleźć sumy k. potęg kolejnych liczb

Mariusz: Ile wynosi suma ? Tutaj także mamy dolną silnie więc

	1		1
∑		=−
	(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)		3(k+1)(k+2)(k+3)

	1		1		1
∑k=0n−1		=−		−(−		)
	(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)		(n+1)(n+2)(n+3)		3*1*2*3

	1		1
=		−
	18		(n+1)(n+2)(n+3)

Mariusz: Zdaje się że brakuje trójki w mianowniku tego drugiego składnika

jc: Mariusz, I to był przyklad, gdzie była łatwiejsza metoda od funkcji tworzących (naprwdę nie mam nic przeciw)

1		1		1
	=		−
k(k+1)(k+2)(k+3)		3k(k+1)(k+2)		3(k+1)(k+2)(k+3)

	1
A może teraz taki szereg ∑n=1∞		?
	n(n+5)

A odgadywanie ma swój urok ...

Qulka: nie pisałam takich tylko ogólnie na rekurencje.. bo nie da się wszystkich wrzucić do jednego worka

Mariusz: @Qulka znalazłabyś takie coś Dobiesław Bobrowski, Wprowadzenie do systemów dynamicznych z czasem ciągłym. Wydawnictwo UAM w Poznaniu. Wg pewnego doktoranta przedstawiona tam Metoda jest ogólna, działa dla każdego równania nieliniowego.

Mariusz:

	(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)
∑n=0n
	(n+1)(n+6)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)

Teraz proponuję kilka razy zsumować przez części a następnie policzyć granicę przy n→∞