POMOCY pawel: wiedząć że alfa i beta sa katami ostrymi trójkąta prostokątnego i spełniona jest równość 4sin2 alfa − 5sin2 beta= 1 oblicz: a) wartośc funkcji sinus cosinus i tangens kąta alfa b)wartość wyrażenia sin alfa * cos beta + cos alfa * sinus beta + tg alfa * tg beta c) miary katów alfa i beta z dokładniościa do 1 stopnia

Janek191: sin β = cos α

pawel: z czego to wywnioskowałeś ? bo w zadanku nie widzę, żeby było napisane

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/265460.html

Jack: α , β − kąty ostre

	b
sin α =		= cos β
	c

	a
sin β =		= cos α
	c

Janek191:

	a
sin α =
	c

	b
sin β =
	c

	b
cos α =
	c

	a
cos β =
	c

więc sin β = cos α

Jack: b)wartość wyrażenia sin alfa * cos beta + cos alfa * sinus beta + tg alfa * tg beta sin alfa * cos beta + cos alfa * sinus beta = sin (α + β)...

	sin α		sin β
tg alfa * tg beta =		*
	cos α		cos β

Podstawiajac sin α = cos β oraz cos α = sin β

	cos β		sin β
... =		*		= 1
	sinβ		cos β

Jack: czyli b) sin (α + β) = 1 tg alfa * tg beta = 1 Suma 1+1 = 2

pawel: dobra ale co zrobiłem z sin( alfa + beta ) ? jaka to własność że skróciłeś ?

pawel: chodzi mi o to że sin(alfa + beta) = 1 skąd to wziąłes ?

pawel: ok rozumiem b ale co z reszta?

Jack: z tablic maturalnych/kart wzorow sin (α + β) = sin α cos β + cosα sinβ

Jack: a jak masz wyzej w postach trojkat to skoro jest on prostokatny a trojkat lacznie ma 180 stopni... to 180 − 90 = 90 czyli alfa + beta musza miec lacznie 90 stopni

Jack: musisz rozwiazac nierownosc... 4sin² α − 5sin² β= 1 Wiemy , ze sin β = cos α więc 4sin²α − 5 cos²α = 1 cos² α = 1− sin²α <−−jedynka trygonometryczna 4sin²α − 5(1−sin²α) = 1 4sin²α − 5 + 5sin²α = 1 9 sin²α = 6

	6		2
sin2α =		=
	9		3

	2		2
sin α = − √		<−−warunek odpada bo alfa jest ostry... lub sin α = √
	3		3

czyli

	2		√6
sin α = √		=
	3		3

Jack: stąd bierzesz ile jest cosinus skoro

	2
sin2 α =
	3

	2
to cos2α = 1− sin2α czyli cos2α = 1 −
	3

	1
cos2 α =
	3

	1
cos α = ± √
	3

	√3		√3
cos α =		lub cos α = −
	3		3

skoro kąt alfa jest ostry to cosinus jest dodatni... stąd

	√3
cos α =
	3

	sin α
tg α =		= ... = √2
	cos α

Odczytac z tablic przyblizone wartosci umiesz?