Ciąg arytmetyczny Mila: Zadania dla Metisa i Bennego. 1) Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8 log₃(√3), szósty wyraz ciągu jest równy:

5+√3
	−7√3. Wyznacz ten ciąg.
2−√3

Ile początkowych wyrazów ciągu należy wziąć, aby ich suma była równa 14 650 ? 2) Z kontekstem realistycznym. Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102 dm³ wypływa w pierwszej minucie 5 dm³ cieczy, a w każdej następnej o 0.25 dm³ mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy? Powodzenia!

bezendu: Mila 1 zadanie chyba za proste troszkę dla nich

Metis: Dziękujemy Milu benny nie wstawiaj od razu całych rozwiązań

Benny: Właśnie sobie policzyłem Zostawię, więc Ci. Co mogę zrobić? Ps. Jak tam indeks?

Metis: Wszedłem do II etapu. Ale czarno to widzę

Mila: Benny , daj odpowiedź. 1) a₁=? r=? a_n=? S=14 650 dla n=? 2) n=?

Benny: Na razie masz święta i czas jeszcze do tego. Och jak ja przypomnę sobie 2 etap i jak bardzo czekałem, żeby się skończył, bo zapomniałem o WC zahaczyć

Benny: Liczone na szybko i nie sprawdzone, ale tylko 1 zadanie: a₁=−2 r=3 a_n=3n−5 S=14 650 dla n=100

Mila: Metis , gratulacje. Miałeś w szkole pomoc? Jutro znajdę zadania na poziomie indeksu. A Benny jak?

Metis: Mam o tyle dobrze, że mogę przygotowywać się w ferie, ale nie przerabiałem jeszcze rachunku i stereometrii , a często trafiają się w zadaniach za 20 pkt a w ciągu miesiąca nie dam opanować dostatecznie tych dwóch działów. Wiem, co czułeś

Metis: Dziękuje Milu Tak, ostateczne wyniki sprawdziłem z profesorem i mam jego wsparcie

Mila: 1) Dobrze.

Benny: Robić 2 czy dla Metisa? Ktoś może zna Izraelską olimpiadę drużynową?

Metis: W 2 ,tak rzutem oka, korzystać z szereg geometrycznego?

Jack: pierwsze to wiadomo a₃ = 4 = a₁ + 2r a₆ = 13 = a₁ + 5r r = 3 a₁ = −2

	1
Sn = (a1 + an) * n *
	2

Sn = 14 650 ... n = 100

Jack: Metis...prawie identyczne zadanie co do tego ciagu 2 + 3 + 3ⁿ + ... tez porabane xD

Metis: W szkole zaczęliśmy geometrię analityczną, rachunek jest kolejny i przed II etapem się niestety nie wyrobimy. Będę musiał sam powalczyć

Benny: Milu nie za bardzo rozumiem o co chodzi?

Mila: Benny, to dla Ciebie zbyt banalne. To dla maturzystów. Metis, Jack, drugie to też c. a. Czytajcie , macie sformułowanie: "o ile mniej" , a nie "ile razy mniej'.

Jack: tak ale na starcie 5 a potem 0,25 nie moga caly czas tyle tylko zadanko komplikuja... : D

Jack: @ Metis nie mialas jeszcze rachunku? to znaczy ze nie mialas pochodnych ? ; o

Benny: Chyba wolałbym być nadal uczniem liceum, ta logika mnie przeraża

Mila: Benny W logice, to nie wiem, czy zdołam Ci wiele pomóc. Trochę zapomniałam. Będę czytać zadania. Na pewno Saizou, Godzio , ICSP pomogą.

Metis: Analizę matematyczną miałem.

Benny: Jeśli chcesz to przejrzyj to http://home.agh.edu.pl/~zygmunt/lista_zadan_wstep_2015.pdf#page=7 Pewnie będę pytał z 6, bo to właśnie robimy na ćwiczeniach.

Mila: Miałam bardzo dobrą książkę do logiki, ale nie pamiętam autora. Zadania były rozwiązane z wyjaśnieniem, egzamin pisemny był dla mnie bardzo łatwy. Popytaj starszych kolegów z czego uczyli się.

Metis: Zapisuję Zad. 1. Wyznacz ciąg art.: a₃=8log₃(√3) 8log₃(√3) =log₃(√3⁸}=log₃81=4 a₃=4

	5+√3
a6=		−7√3
	2−√3

5+√3		5+√3		7√3(2+√3)
	−7√3=		−		// po wymnożeniu i
2−√3		2−√3		2+√3

zniesieniu niewymierności uzyskujemy: a₆=13 Wyznaczyć ciąg art. oznacza wyznaczyć jego a₁ oraz r. a₆=a₃+r Stąd r=3 a₁=a₃−2r Stąd a₁=−2 Ile początkowych wyrazów ciągu należy wziąć, aby ich suma była równa 14 650:

	n(a1+an)
Sn=14650 ⇔		=14650
	2

n(a1+an)
	=14650 /2
2

n(a₁+a_n)=29300 n(2a₁+(n−1)r=29300 n(2*(−2)+3(n−1)=29300 n(−4+3(n−1)=29300 n(−4+3n−3)=29300 n(3n−7)=29300 3n²−7n−29300=0 Pierwiastek ujemny odrzucam. n=100.

Jack: tez delta liczylem : D

Benny: Właśnie Milu u mnie jest trochę inaczej, egzamin mam tylko ustny

Jack: Milu, dlaczego w drugim arytmetyczny owszem jest w każdej następnej o 0.25 dm3 mniej ale też jest " niż w poprzedniej " a to znacznie zmienia...

Metis: Przeczytaj komentarz Mili z 22:55. Mój rzut oka był błędny

Jack: dobra nie wazne, wgl zle zrozumialem zadanko... myslalem ze jest 0,25 potem 1/4 * 0,25 i mowie trudne w hit jest...

Jack: hmmm 28minut?

Jack: jednak nadal jak czytam, to wg mnie nie jest arytmetyczn...

Mila: Metis, uwagi 1) a₃ dobrze wyznaczyłeś, a₆, popatrz na mianownik, po pomnożeniu przez (2+√3) otrzymasz w mianowniku 1, niepotrzebnie dodałeś sobie pracy sprowadzając do wspólnego mianownika, przy czym im więcej liczenia, to większa szansa na pomyłkę. Dalej dobrze. Jack a₁=5 a₂=5−0.25 a₃=5−0.25−0.25=4.5 r=−0.25 Pomyślcie, jeszcze o tym , jakie mogą być wyrazy ciągu.

Metis: Zapisuję Zad. 2. a₁=5 dm³

	1
r=−
	4

51 dm³ − objętość połowy naczynia n? S_n=51 ⇔ n(2a₁+(n−1)r=102

Metis: Racja Milu , dziękuje

Eta:

	13−4
a3=4 , a6=13 , r=		=3
	3

a_n= a₃+(n−3)*3 a_n= 3n−5

Mila: Dobrze Metisku, jeszcze ograniczenie dla n.

Metis: Tak szybciej

Metis: Ograniczenie dla n ? Czyli n∊R⁺ ?

Mila: Kombinuj, rozwiąż i daj odpowiedź.

maciek : Pytanie z innej beczki Metis − zdajesz może maturę z fizyki?

Jack: 2) Z kontekstem realistycznym. Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102 dm3 wypływa w pierwszej minucie 5 dm3 cieczy, a w każdej następnej o 0.25 dm3 mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy? jak dla mnie to zadanie brzmi : Mamy 102 litry, w pierwszej minucie wypływa 5, a w każdej następnej o 0,25litra mniej niż w poprzedniej czyli w drugiej wyplywa 4,75 w trzeciej 4,5 w czwartej 4,25 w piatej 4, w szostej 3,75, w siodmej 3,5, w osmej 3,25 w dziewiatej 3 itd idac to droga dochodze do + 1 i wtedy mam 51 dm3 Czyli liczac sposobem dzieci z przedszkola otrzymuje 17 minut...

Metis: Rozwiązujać ostatnie równanie dochodzimy do rozwiązania n=17 lub n=24 Teraz musimy sprawdzić wyniki i zobaczyc co Nam wyjdzie w obu przypadkach

Metis: Maciek, waham się. Wiem, że fizyki nie napiszę lepiej od matematyki, a na uczelnie, które biorą pod uwagę liczy się tylko jeden przedmiot, ten lepiej napisany.

Jack: 24 nie powinno sie zgadzac Metis

Mila: Dobrze, 17 minut. Na maturze braknie Ci czasu, jeśli będzie wynik w zadaniu np. 117 minut. Oblicz wzorem.

Metis: Odrzucamy 24... W pewnym momencie okaże się się opróżniamy już pusty pojemnik z wodą. Woda będzie ubywała o wartości ujemne − ciag art. malejący − jasne

Mila: Po prostu , nie może wypływać ujemna ilość wody. 0≤a_n<5

Metis: Dokładnie, z pustym pojemnikiem przesadziłem, on nie bedzie pusty

Mila: 3)* Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n) w którym: a₁=1 a₂=11 a₃=111 a₄=1111 . . a_n=111...............1 ( n razy cyfra 1) Dobranoc Eta wstęp zakazany.

Dżin: Metis, tak z ciekawości, ile miałeś punktów w pierwszym etapie?

Metis: Ciekawość to pierwszy stopień do piekła

Metis: Dobrej nocy Milu To zadanko już kiedyś widziałem

Jack: https://matematykaszkolna.pl/forum/52597.html Rozwiązanie nie wchodzić bez konsultacji z

Metis: W tym pdf'ie z wynikami można bardzo zawęzić obszar poszukiwań

Metis: Jack rozwiązywanie zadań nie na tym polega...

Eta: Jacuś

Dżin: No cóż Metis, skoro nie chcesz się podzielić tą informacją, to nie nalegam

Dżin: Polecam Ci wystartować także w tym konkursie: https://konkurs.mini.pw.edu.pl/

Metis: Też startuję

Dżin: Przebrnąłeś już przez wszystkie etapy? A jeśli tak, to jaki masz wynik w E3?

Metis: W trakcie rozwiązywania

Dżin: W takim razie, powodzenia!

Metis: Dzięki

Maciek: Metis − a mógłbyś zdradzić jaką uczelnie wybierasz?

Benny: AGH oczywiście

Metis: Dokładnie

Maciek: a jaki wydział ?

Metis: Wolę nie zapeszac. Najpierw matura

Maciek: okej powodzenia

Metis: Dzięki , wzajemnie

Jack: Maciek tez matura w tym roku?

Metis: Milu zad.3. nie przedstawię. Jack podał link, w którym sztandarowo rozwiązane jest przez Ete i Bogdana.

Jack: tez uwazam ze te rozwiazanie jest takie, ze nie ma bata bym na nie wpadl...

Metis: Ja nie stwierdzam, że nie wpadłbym na rozwiązanie.

Jack: Ale stwierdzam ze stwierdziles ze tak odrazu to bys nie wpadl...a od sieviw dodalem ze raczej prawie wgl... No jak bys posiedzial nad tym kilka godzin to moze cos...