dowód indukcyjny
Klaudia: ∑
k=1n x
2k *∑
j=1n y
2j ≥ (∑
i=1n x
i y
i)
2 dla dowolnych liczb
x
iy
i ∊ R
1) nierówność jest prawdziwa dla n=1, więc zakładam,że jest prawdziwa również dla n
2) sprawdzam dla (n+1):
L
1 = ∑
k=1n+1 x
2k *∑
j=1n+1 y
2j ≥ (∑
i=1n+1 x
i y
i)
2 = P
1
L
1 = ∑
k=1n+1 x
2k *∑
j=1n+1 y
2j=
= (∑
k=1n x
k2 + x
n+12) * (∑
j=1n y
2j + y
n+12=
= (∑
k=1n x
k2 * (∑
j=1n y
2j) + (∑
k=1n x
k2 * y
n+12)
+(x
n+12 * ∑
j=1n y
2j ) + (x
n+12 * y
n+12) =
z założenia
= (∑
i=1n x
i y
i)
2 + (∑
k=1n x
k2 * y
n+12) + (x
n+12 *
∑
j=1n y
2j ) + (x
n+12 * y
n+12)
nie mam pomysłu, więc rozpisuje prawą stornę nierówności :
P
1 = (∑
i=1n+1 x
i y
i)
2 = (∑
i=1n x
i y
i + x
n+1 y
n+1)
2 =
(∑
i=1n x
i y
i)
2 + 2 * ∑
i=1n x
i y
i * x
n+1 y
n+1 + (x
n+1 y
n+1)
2
zauważyłam, że niektóre wyrazy z L i P są równe, a więc należy udowodnić, że :
L
2 = (∑
k=1nx
k2*y
n+12) + (x
n+12*∑
j=1ny
2j)≥
≥ 2*∑
i=1nx
i y
i*x
n+1y
n+1 = P
2
teraz się pogubiłam, nie mam pomysłu, pomoże ktoś
