Dowód a b . . .
V.Abel: | | a2+b2 | | a+b | |
Udowodnij, że √ |
| ≥ |
| |
| | 2 | | 2 | |
proszę o pokazanie, co jest tym, co mam wykazać, w sensie, co pokazuje, że dalej już pokazywać
nie potrzeba.
27 lut 21:32
V.Abel: pierwiastek tyczy się całego ułamka
27 lut 21:32
ICSP: Kw ≥ Am
c.k.d.
Dziękuję
27 lut 21:33
V.Abel: co to jest Kw≥Am ? . . może słowo komentarza tłumaczącego, proszę
27 lut 22:15
V.Abel: Kw−kwadrat?
Am− ...
27 lut 22:16
ICSP: poczytaj o średnich.
27 lut 22:22
Mila: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność
Przekształcamy w sposób równoważny powyższą nierówność.
Dla >0 i b>0 obie strony nierówności są dodatnie, zatem możemy obustronnie podnieść do kwadratu
2a
2+2b
2≥a
2+2ab+b
2
a
2+b
2−2ab≥0
(a−b)
2≥0 nierówność prawdziwa , zatem wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.
średnia kwadratowa jest większa lub równa średniej arytmetycznej
27 lut 22:46
PW: Twierdzenie brzmi:
Kwadrat średniej arytmetycznej dwóch liczb nie przekracza średniej arytmetycznej kwadratów tych
liczb:
Pomyśl co podstawić za x i y, żeby otrzymać tezę i sprawdź, czy twierdzenie jest prawdziwe
tylko dla liczb nieujemnych, czy dla dowolnych (tu nie ma żadnego założenia, o liczbach a i
b).
27 lut 22:52
PW: O, zanim wystukałem swoje, to Mila już udowodniła, więc odpowiedź już znasz (wystarczy
przeanalizować dowód "od tyłu".
27 lut 22:55
Mila:
Zastanawiam się nad innym dowodem, aby nie wychodzić od podanej nierówności, w kryteriach
widzę, że nie lubią takich dowodów.
ETA,PW?
28 lut 00:22
Eta:
28 lut 00:26
Mila: Dzisiaj już DOBRANOC
28 lut 00:38
Saizou : Mila to może dowód metodą nie wprost
zakładamy że teza jest fałszywa, zatem
..............
(a−b)
2<0
dochodzimy do sprzeczności, wówczas teza jest prawdziwa
28 lut 15:21
PW: Znany jest dowód nierówności Cauchy'ego−Buniakowskiego, wykorzystujący tylko własności funkcji
kwadratowej, a więc zrozumiały dla licealisty.
(1) (a
1x−b
1)
2+(a
2x−b
2)
2+...+(a
nx−b
n)
2 ≥ 0
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdej x∊R(suma kwadratów); równość ma miejsce wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie składniki są zerami.
Po podniesieniu do kwadratu każdy składnik będzie miał postać
(a
k)
2x
2 − 2a
kb
kx + b
k2,
a więc(1) jest nierównością kwadratową
(a
12+a
22+...+a
n2)x
2 − 2(a
1b
1+a
2b
2+...+a
nb
n)x +(b
12+b
22+...+b
n2) ≥ 0.
Jak powiedzieliśmy na wstępie − nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich x, czyli wyróżnik Δ
funkcji kwadratowej jest niedodatni:
Δ≤0 ⇔ [−2(a
1b
1+a
2b
2+...+a
nb
n)]
2 − 4(a
12+a
22+...+a
n2)(b
12+b
22+...+b
n2)≤0,
skąd po podzieleniu przez 4
(a
1b
1+a
2b
2+...+a
nb
n)
2 − (a
12+a
22+...+a
n2)(b
12+b
22+...+b
n2) ≤ 0
(2) (a
1b
1+a
2b
2+...+a
nb
n)
2 ≤ (a
12+a
22+...+a
n2)(b
12+b
22+...+b
n2)
To jest nierówność Cauchy'ego−Buniakowskiego, zapisywana zazwyczaj w postaci
(∑a
ib
i)
2 ≤ (∑a
i)
2(∑b
i)
2 (sumowanie po i od 1 do n).
Jeżeli w (2) weźmiemy b
1=b
2=...=b
n=1, to nierówność przyjmie postać
(a
1+a
2+...+a
n)
2 ≤(a
12+a
22+...+a
n2)(1
2+1
2+...+1
2)
(a
1+a
2+...+a
n)
2 ≤(a
12+a
22+...+a
n2)n,
a po podzieleniu stronami przez n
2
| | a1+a2+...+an | | (a12+a22+...+an2) | |
(3) ( |
| )2 ≤ |
| |
| | n | | n | |
Ostatnia nierówność to właśnie nierówność między kwadratem średniej arytmetycznej a średnią
arytmetyczną kwadratów. Rozwiązujący zadanie: udowodnij, że
mógłby więc powołać się na znajomość nierówności (3) w wersji dla dwóch składników
i podstawiając a
1=a, a
2=b uzyskać
co po obliczeniu pierwiastka z obu stron daje
skąd wynika teza.
Mógłby też powtórzyć dowód nier. Ceuchy'ego−Buniakowskiego dla tego skromnego przypadku:
(x−a)
2+(x−b)
2≥0 (nierówność prawdziwa dla wszystkich x, a, b)
2x
2−2(a+b)x+(a
2+b
2)≥0, w takim razie Δ≤0
Δ≤0 ⇔ [−2(a+b)]
2−4•2•(a
2+b
2)≤0 ⇔ 4(a+b)
2 − 8(a
2+b
2) ≤ 0 ⇔ (a+b)
2≤2(a
2+b
2)
a ponieważ
nierówność jest udowodniona dla wszystkich a, b.
28 lut 16:08
V.Abel: O rety
! ! ! Dzięki za solidne wytłumaczenie i poświęcony czas
zupełnie inna
Jeszcze raz dziękuję
28 lut 16:20