oblicz granice ciagu zix: Granica: an = √4ⁿ+n²−2ⁿ

Janek191:

	4n +n2 − (2n)2		n2
an =		=
	√4n + n2 + 2n		√4n + n2 + 2n

zix: dotąd też zrobiłem, ale nie wiem co dalej

:): no 0.... Janek nie dopisał bo to oczywiste

Przemysław: @: Możesz udowodnić? dla mnie to nie jest oczywiste − tzn ja nie umiem

:): Jest wiele opcji.

	nk
1) Najprościej powołać sie na taki fakt, limn→∞		=0, gdzie a>1, k−ustalony, k∊N
	an

2) zamienić literki n na x i przejśc na funkcję f(x) i zastoswać 2 razy regułe de l'hospitala dla wyrażenia ∞/∞ 3) Uwierzyć mi 4)......

rez: ja preferowałbym jednak czwartą opcję

Przemysław: No właśnie. de l'hospital jest dla funkcji. A to jest chyba ciąg? Tzn. pewnie można pocudować, żeby to użyć ale coś mi się to nie podoba. A co do 1) to nie pomaga za bardzo, bo wypadaloby pokazać, dlaczego to jest prawda (to na co się powołujemy)

:): 2) Jeżeli pokażemy że f(x) ma taka własnosc to tym bardziej podciąg naturtalny.... 1) POkażuje sie to albo z 2− chyba najszybciej..albo jakiś brzydki dowód przez rospiywanie i oszacowywanie też widziałem. Jak ci bardzo zależy to moge rozpisać elementarnie. ALe jak Baaaardzo chcesz

Przemysław: Byłoby baardzo miło Bo chciałbym wiedzieć jak to się robi.

:): Mam jeszcze 1 uzasadneinei dość ładne...Znasz szeregi

zix: ja też byłbym wdzięczny

Przemysław: "Znasz"? Tzn. no wiem co to jest Ale jeżeli chodzi o kryteria, to je też bym musiał poudowadniać

:): wynika to bardzo prosto z kryteium Cauchy'egpo...jak sie obliczy ten n−ty piewistek w granicy..to dostajesz

1
	<1 więc szereg o takich wyrazach jest zbieżn, więc sam ciąg dązy do zera..
a

Chyba najładniejsze uzasadnienie. Po drodze przyda sie też fakt, ze ⁿ√n→1. Ale to już proste dość

:): Jak mimo wszystko..MUSISZ zoabcyzc elementarny dowód to daj znac

Przemysław: n^1/n→1 to ok, to już wiem jak. A kryterium Cauchy'ego to będę musiał próbować jeszcze Ad 20:43 Tzn. nie muszę ale byłbym MOCNO wdzięczny, bo próbowałem kiedyś coś podobnego ale nic mi z tego nie wyszło

:):

	n
No to wystarczy pokazać, że		→0, a>1
	an

a>1 więc a=1+c, c>0

	n 2
Z wzoru Newtona (dwumianowego) an≥		c2

	n		n		2
czyli 0≤		≤		≤		i teraz już tw o 3 ciągach.
	an		n 2   c2		(n−1)c2

	nk
No i teraz zoabczmy, że (		)→0 to wniosek
	an

Niech b=a^1_k>1

	nk		n
0≤		=(		)k→0k=0
	an		bn

zix: dzięki wielkie!

Przemysław: Dziękuję bardzo! Spojrzysz może jeszcze tu? https://matematykaszkolna.pl/forum/303855.html Prooszę

Przemysław: Jeszcze mam wątpliwość, co do wniosku:

	1
b=		>1
	ak

wtedy a^k<1 czyli a<1, prawda? więc wniosek jest, że:

nk
	→0, dla a<1
an

	n
A jeżeli b<1, to wtedy nie można zrobić tego przejścia, że		→0...
	bn

:):

	1
b=a do potęgi		, do do −k..taki szczegól
	k

Zakładalismy sobie, że a>1 więc b>1 (dość oczywiste) Jeżeli a<1 to nie będzie tak

Przemysław: O faktycznie, coś mi się pomieszało Dziękuję jeszcze raz