Supremum Przemysław: Proszę o pomoc i przepraszam, że tak dużo. Jednak liczę, że ktoś to przeczyta. Mam takie zadanie, w którym między innymi pojawia się, że: Pokazać: sup(A+B)=supA+supB gdy A,B⊂|R, ograniczone napiszę, co mam: Do udowodnienia: T₁: ∀_a∊A∀_b∊B supA+supB≥a+b T₂: ∀_ε>0∃_a∊A∃_b∊B: a+b>supA+supB−ε Wiadomo, że: 1^o ∀_a∊A:supA≥a 2^o ∀_b∊B:supB≥b 3^o ∀_ε>0∃_a∊A a>supA−ε 4^o ∀_ε>0∃_b∊B b>supB−ε Dodam stronami nierówności z 1^o i 2^o, otrzymuję: ∀_a∊A∀_b∊B a+b≤supA+supB a to jest równoważne z T₁ (Proszę o sprawdzenie tego) Teraz T₂. W 3^o ustalam ε=ε₀ wiem, że: ∃_a∊A a>supA−ε₀ ∃_b∊B b>supB−ε₀ dodam stronami, mam: ∃_a∊A∃_b∊B a+b>supA+supB−2ε₀ no i coś mi się to nie skleja

Przemysław: Pomożecie?

:): sup(A+B)=sup(A)+sup(B) A+B={a+b:a∊A,b∊B} z definicji supremum, dla każdego a∊A, a≤sup(A), b∊B, b≤sup(B) więc a+b≤sup(A)+sup(B), gdzie, a∊A,b∊B zatem sup(A+B)≤sup(A)+sup(B) Teraz w drugą strone. Wystarczy pokazać, ze dla dowolengo e>0 sup(A+B)+2e≥sup(A)+sup(B) (taki myk ) Z definicji supremum, istnieje a∊A taki, że a+e≥sup(A) b∊B taki, że b+e≥sup(B) zatem a+b+2e≥sup(A)+sup(B), dla tych konkretnych a,b Ale znów z definicji supremum, sup(A+B)≥a+b zatem sup(A+B)+2e≥sup(A)+sup(B) Skoro e było dowolnie małe, więc sup(A+B)≥sup(A)+sup(B)

Przemysław: To przejście z e dowolnie małym mnie niepokoi Czy na pewno nie może być tak, że: sup(A+B)<supA+supB i jednocześnie: sup(A+B)+2e≥supA+supB I dlaczego?

:): Jest do oczywsite! Zgodzisz sie ze to to samo pytanie co Jeżeli dla każdej liczby e>0 a+e≥b to a≥b. tak

Przemysław: To jest takie samo pytanie. Ale czemu tak jest? Tzn to e jest blisko zera. Ale jednak nie zero

:): No to zobacz, przypuścmy, że jednak a<b to znaczy, ze b−a>0

	b−a
no to biore sobie e=		(miałem dowolność z e>0)
	2

wtedy

b−a

2a

b−a

b+a

b

a

b

b

a+e=a+

=

+

=

=

+

<

+

=b, bo a<b

2

2

2

2

2

2

2

2

sprzeczność

:): (sprzecznosc bo wyszlo nam, że a+e<b, e>0)

Przemysław: Dziękuję bardzo

:): spoko. Podoba mi sie twoja docieklwość

Przemysław: Jeszcze nie łapię... coś chyba ciężko kapuję Zakładamy a<b dostajemy a+e<b, dla pewnego szczególnego e. Nie rozumiem, gdzie tu sprzeczność Przecież możemy dodać na tyle mało, że dalej będzie mniej niż b... A e nie może być dowolnie duże, bo już jest ustalone.

:): Wypowiedziany przeze mnie fakt brzmi. Jeżeli dla dowolnego e>0 zachodzi a+e≥b to z tego wynika, że a≥b. Dowód − przypuszczam, że a<b − wskazuje e>0 takie, że zachodzi a+e>b (sprzeczność z tym, że założyłem sobie, że dla dwolnego e>0 a+e ma być nie mniejsze niż b)

:): takie, ze a+e<b**

Przemysław: OK, dziękuję. Trochę się byłem pogubiłem, ale już ogarnąłem

:):

Przemysław: Mam jeszcze takie podobne: czy sup(bA)=b*supA, dla b∊|R Wyszło mi, że tak, nie wiem czy dobrze Bo teraz mam jeszcze: "Proszę spróbować scharakteryzować sup(bA)"

:): A=[0,1] b=−1 wtedy sup(A)=1 b*sup(A)=−1*1=−1 bA={−a:a∊A}=[−1,0] sup(bA)=0 więc tak nie jest

:): sup(−A)=−inf(A) to jest dobra obserwajcja! jeżeli b>0 to tak bedzie jak napisałes a jak b<0 to.. (patrz uwaga na początku)

Przemysław: ...=b*infA To gdzie mam błąd w czymś takim: supA≥a ⇒b*supA≥b*a ⇒b*supA≥sup(bA) supA−e≤a bsupA−be≤ba ⇒bsupA−be≤sup(bA) ⇒bsupA≤sup(bA) w ostatnim przejściu?

:): 4 linijka, zakładasz b>0

Przemysław: A no tak, jak mnożę przez b Dobra. Teraz będę próbował pokazać, że jest:

	⎧	b*supA, b≥0
sup(bA)=	⎨
	⎩	binfA, b<0

Zobaczę, jak to pójdzie.

:): Mając moją obserwacje, masz to za darmo jeżeli b<0 to −b>0 bA=−b(−A) sup(bA)=−b*sup(−A)=−b*(−in(A))=binf(A)

Przemysław: Dobra, chyba się udało. Dla b>0 prawdziwe jest to poprzednie. Dla b=0: sup(0*A)=sup {0,...,0}=0=0*supA dla b<0 "≥" sup(bA)≥ba

1
	sup(bA)≤a
b

1
	sup(bA)≤infA
b

sup(bA)≥b*infA "≤" infA≤a binfA≥ba binfA≥sup(bA) Zgadza się?

Przemysław: Haha, racja... Ależ nie myśle.

:): Czas spać

Przemysław: No wiesz − "ale wyszło" Tylko to, co się napisałem to moje

:): ha ha,,

:): Ide nunu..dobrej nocy

Przemysław: Dobranoc! Dziękuję bardzo za pomoc