zbieżność ciągu, zasada indukcji dkaaa: Witam. Dostałem do zrobienia pewne zadanie, nie mam jednak pojęcia jak się za nie zabrać. Wykazać zbieżność ciągu zdefiniowanego następująco a₁ =1, a_n+1= √2+an dla n ∊ N. Wyznaczyć granicę tego ciągu. Wskazówka: wykazać, że jest to ciąg rosnący i ograniczony, wykorzystać zasadę indukcji. Proszę o pomoc. Ciąg będzie rosnący jesli a_n+1/a_n > 1 Jak to pokazać indukcyjnie?

PW: Bez indukcji a_k+1 >a_k ⇔ a_k+1² > a_k² (bo wyrazy ciągu są dodatnie). Wystarczy więc udowodnić równoważną nierówność 2 + a_k > a_k², a_k > 0 a_k² − a_k − 2 < 0. Jest to nierówność kwadratowa zmiennej a_k. Δ =1−4·(−2) = 9, √Δ = 3, miejscami zerowymi są

	1 − 3
		= −1
	2

i

	1+3
		= 2.
	2

Widać więc, po uwzględnieniu dodatniości wyrazów ciągu, że nierówność a_k+1 >a_k jest prawdziwa dla wszystkich wyrazów a_k mniejszych od 2. Indukcyjny dowód, że a_n < 2 jest nietrudny .

dkaaa: Ale jeśli się uprę, to mogę udowodnić poprzez indukcję, prawda? Udało mi się dla: zał: a_n+1 > a_n teza: a_n+2 > a_n+1. Potem udowodniłem indukcyjnie, że ciąg jest ograniczony czyli: a_n < 2. Granica tego ciągu to 2, ale jak to wyliczyć z lim(n→∞)a_n?

PW: Przepraszam, pokazałem jak udowodnić, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry przez 2 korzystając z zasady indukcji. To, że 2 jest granicą (a nie jakaś liczba dodatnia mniejsza od 2) trzeba wykazać z definicji granicy.

PW: Może jeszcze inaczej: pokazać, że żadna liczba mniejsza od 2 nie jest ograniczeniem z góry zbioru {a_n}..

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/300402.html

dkaaa: ICSP, przy moim założeniu i tezie też będzie poprawnie, tak?

PW: Już nie męcz, wszystko jest jasne. Pokażę dlaczego granica jest równa 2. Znamy twierdzenie, że każdy ciąg rosnący i ograniczony z góry ma granicę. Z definicji a_n+1 = √2+a_n wobec tego lima_n+1 = √2+lima_n g = √2+g i wykorzystujesz tę samą funkcję kwadratową, która już była o 17:16 (użyta do rozwiązania nierówności).

dkaaa: już dawno sobie poradziłem, ale dziękuję za pomoc.