zbieżność ciagu korkuma: Zbadaj zbieżność ciągu i oblicz granicę jeśli: a₁=√2 a_n+1=√2+a_n Przyznam szczerze, że nie mam pojęcia jak to zrobić dlatego proszę o jakiekolwiek wskazówki.

korkuma: Dobra, sprawdzam monotoniczność i dochodzę do takiego miejsca:

−an2+an+2
√2+an+an

Mianownik jest zawsze dodatni, rozwiązuje równanie kwadratowe z licznika i dostaję miejsca zerowe −1 i 2, parabola ma ramiona w dół. I co teraz? Jakie płynął wnioski?

sushi_gg6397228: policz pierwsze kilka wyrazów ciągu

korkuma: Licząc wyrazy dochodzę do wniosku, że jest rosnący czyli teraz wystarczy znaleźć ograniczenie z góry. Dobra, ale jak prawidłowo powinienem uzasadnić, że jest rosnący?

sushi_gg6397228: zacznij od granicy a_n−−> g a_n+1−−> g więc g=√2+g g=...

korkuma: g²−g−2=0 g₁=−1 g₂=2 Wychodzi na to, że musi być ograniczony przez 2. Czyli teraz sprawdzam, że tak rzeczywiście jest. a_n+1<2 √2+a_n<√2+2=2 czyli tak jakby nie jest..

sushi_gg6397228: nie widze wypisanych kolejnych wyrazów ciągu

korkuma: a₁=√2 a₂=√2+√2 a₃=√2+2√2 czyli coraz większe

sushi_gg6397228: a₁= 1,414214.... a₂= 1,847759... a₃= 1,961571... i widać ze to dązy do "2" cytuje Twój wpis o 17.26 a_n+1= √2+a_n< √2+2= 2 czyli a_n+1<2 − co tu jest dziwne

korkuma: Źle tam podstawiłem. Chyba już wszystko wiem. Czyli w takim przykładzie: b₁>0

	1		1
bn+1=		(bn+		)
	2		bn

Liczę granicę: g=−1 ⋁ g=1 Sprawdzam monotoniczność:

bn+1
	>0 rosnący
b1

Sprawdzam ograniczenie z góry przez 1. b_n+1<1 b_n²−2b_n+1<0 Δ=0 b₀=1 coś chyba namieszałem

sushi_gg6397228:

	1		1		1		1
bn+1 =		( bn +		) <		( 1+		)= 1
	2		bn		2		1

trzeba jeszcze dopracowac przejscie czerwone

sushi_gg6397228: poza tym podaleś b₁ >0, to ja dam b₁= 1 000

	1		1		1
b2=		(1000 +		)= 500 +		=...
	2		1000		2000

b₃ = .... b₄=....

korkuma: Teraz widzę, że jest malejący, ale nie potrafię tego udowodnić Chyba, że można tak:

bn+1		bn2+1
	=		i to chyba zawsze mniejsze od 1 czyli ciąg malejący
bn		2bn2

zombi:

	1   bn +   bn
bn+1 =		≥ √bn*1bn = 1 − ograniczoność od dołu z nierówności
	2

między średnią aryt i geom.

zombi: Natomiast malejący, bo

	1   + bn bn
bn+1 < bn ⇔		< bn / *2bn
	2

⇔ 1 + (b_n)² < 2(b_n)² ⇔ (b_n)² > 1, co jest prawdą, bo pokazaliśmy, że b_n ≥ 1.

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/300402.html

korkuma(*): zombi, skąd przy ograniczoności z tej nierówności wiemy, że to do 1 ogranicza?

zombi:

	1
Z nierówności między średnią aryt, a geom. dla liczb bn i
	bn