Zadania z wyrażeń algebraicznych kamil:

	1		1		1		1
1) Wykaż, że jeśli		+		+		=		to conajmniej dwie spośród liczb a,b,c
	a		b		c		a+b+c

są liczbami przeciwnymi. Ustaliłem, że jeśli są przeciwnymi to np. a+b=0 lub a+c=0 lub b+c=0 , więc : (a+b)(b+c)(a+c)=0 Zał:

1		1		1		1
	+		+		=
a		b		c		a+b+c

1		1		1		1
	+		+		−		=0
a		b		c		a+b+c

Jak to dalej rozpracować, żeby to udowodnić? Muszę doprowadzić do iloczynu aby wystąpił przynajmniej jeden z tych czynników wyżej, aby mi się wyzerowało, ale po rozkładzie i wymnożaniu nic mi nie wychodzi 2)Wklejam fotę bo nie mogłem rozpisać, błędy były i nie czytelne : http://iv.pl/images/78158615473537073685.png 3) Udowonij, ze jeżeli b=a−1 to (a+)(a²+b²)(a⁴+b⁴)(a²+b⁸)(a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²)=a⁶⁴+b⁶⁴ 4) Oblicz x⁴+y⁴+z⁴ jeżeli x+y+z=0 i x²+y²+z²=a

ICSP: Pierwsze: https://matematykaszkolna.pl/forum/151871.html − 31 lipca 21:02

4max: zadanie nr 1 a+b+c≠0 a≠0 b≠0 c≠0

1		1		1		1
	+		=		−
a		b		a+b+c		c

ICSP: Drugie: Chyba trzeba to na siłę przekształcać, ja osobiście bym zaczął od przemnożenia liczik i mianownika przez (x² + a²)^−1/2 − (x² − a²)^−1/2, ale nie gwarantuje, że to dobra droga.

ICSP: Trzecie jest źle przepisane.

ICSP: Czwarte: Kombinuj ze wzorkiem : (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

kamil: Faktycznie, poprawka co do 3 : 3) Udowonij, ze jeżeli b=a−1 to (a+b)(a²+b²)(a⁴+b⁴)(a⁸+b⁸)(a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²)=a⁶⁴+b⁶⁴

kamil: Te 4 jak mam podstawić?

ZKS: Zadanie 4.

	a2
x4 + y4 + z4 =
	2

Jak nie będziesz umiał dojść to się pomoże.

kamil: a²= (x²+y²+z²)² ? Dlaczego podzielone przez 2 ?

ZKS: Czy dla Ciebie x⁴ + y⁴ + z⁴ = (x² + y² + z²)²? Czegoś tam jeszcze brakuje.

kamil: jeszcze − 2xy−2xz−2yz ?

Kacper:

Mila: 4)Oblicz: x⁴+y⁴+z⁴ jeżeli x+y+z=0 i x²+y²+z²=a (x+y+z)²=x²+y²+z²+(2xy+2xz+2yz)⇔ 0=a+(2xy+2xz+2yz)⇔

	a
xy+xz+yz=−		/2
	2

	a2
x2*y2+x2*z2+y2*z2+2xy*xz+2xy*yz+2xz*yz=		⇔
	4

	a2
x2*y2+x2*z2+y2*z2+2xyz(x+y+z)=		⇔
	4

	a2
x2*y2+x2*z2+y2*z2+2xyz*0=		⇔
	4

	a2
x2*y2+x2*z2+y2*z2=
	4

x⁴+y⁴+z⁴=(x²+y²+z²)²−2*(x²*y²+x²*z²+y²*z²)=

	a2		a2
=a2−2*		=
	4		2

ICSP: Nadal 3 źle przepisane.

ed_eu: 3 przepisane dobrze

ZKS: To w takim razie jest to nieprawdą. Zadanie 3. (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) = a⁶⁴ + b⁶⁴ b = a − 1 ⇒ a − b = 1 L = (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) = 1 * (a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) = (a − b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) (a² − b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) = a⁶⁴ − b⁶⁴ ≠ a⁶⁴ + b⁶⁴ = P

kamil: a nie sorry powinno być ....=a⁶⁴−b⁶⁴

kamil: ref

Godzio: Z którym jeszcze masz problem?

Godzio: Zad. 2 Podnoszę do potęgi − 2 całe wyrażenie: [ (x² + a²)⁻¹ − 2(x⁴ − a⁴)^−1/2 + (x² − a²)⁻¹ ] / [ (x² + a²)⁻¹ + 2(x⁴ − a⁴)^−1/2 + (x² − a²)⁻¹ ] Mnożę licznik i mianownik przez (x² − a²)(x² + a²) = x⁴ − a⁴ [ x² − a² − 2(x⁴ − a⁴)^1/2 + x² + a² ] / [ x² − a² + 2(x⁴ − a⁴)^1/2 + x² + a² ]

2x2 − 2(x4 − a4)1/2
	=
2x2 + 2(x4 − a4)1/2

	x2 − (x4 − a4)1/2
=
	x2 + (x4 − a4)1/2

	m2 + n2
Wstawiam x = a(		)1/2
	2mn

	m2 + n2
x4 − a4 = a4(		)2 − a4 =
	2mn

	m2 + n2		m2 + n2
= a4(		− 1)(		+ 1) =
	2mn		2mn

	(m − n)2(m + n)2
= a4
	4m2n2

	(m − n)(m + n)
(x4 − a4)1/2 = a2
	2mn

	m2 + n2		(m − n)(m + n)
x2 − (x4 − a4)1/2 = a2		− a2		=
	2mn		2mn

	m2 + n2 − m2 + n2		n
= a2		= a2
	2mn		m

	m
x2 + (x4 − a4)1/2 = a2
	n

x2 − (x4 − a4)1/2		n2
	=
x2 + (x4 − a4)1/2		m2

Nie wiem czy to jest istotne bo nie sprawdzałem, ale w pewnym momencie założyłem sobie, że m > n. Dla m < n wynik może się nieco zmienić, moment ten zaznaczyłem na czerwono. Sprawdzaj dokładnie bo mogłem się gdzieś pomylić