Informator zadanie Metis: Mam problem z takim zadaniem <myśli> Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5. Pochodzi z informatora. http://prntscr.com/8iwiu4 Nie rozumiem skąd zapis: k=5l+1 k=5l+2 itd...

Nuti: Jest 5 możliwych reszt z dzielenia liczb całkowitych przez 5: 0 (gdy liczba jest podzielna przez 5), 1, 2, 3 i 4. Liczby o takich resztach można zapisać w postaci 5k 5l+1 5m+2 5p+3 5n+4 gdyie k, l i cała reszta są jakimiś liczbami całkowitymi. Tak się to zapisuje, żeby móc później obliczać np. reszty sum albo iloczynów różnych liczb przy dzieleniu przez 5. Jasne?

Nuti: Takie zadanie było tu rozwiązywane (3−4 sposobami) wczoraj lub przedwczoraj. Poszperaj!

Nuti: https://matematykaszkolna.pl/forum/299302.html

Metis: Tak tak rozwiązania mam Ale chodzi mi akurat o ten zapis. Nie zbyt do mnie przemawia to rozwiązanie.

Nuti: Czy teraz już rozumiesz sam zapis czy nadal nie? Wg mnie najprostszy jest sposób ostatni (z tabelką) z linku, który Ci przesłałam, ale może to kwestia gustu. Najprostszy w sensie najłatwiejszy, ale oczywiście nie najbardziej elegancki! Jest najbardziej „łopatologiczny".

Mila:

6		1
	=1+		⇔6=1*5+1
5		5

7		2
	=1+		⇔6=1*5+2
5		5

13
	=2+35⇔13=2*5+3
5

Metis: A czy w II nie powinno byc: 7=1*5+2?

Nuti: Widziałeś przykłady Mili, łatwiej tak? W zadaniach dotyczących liczb ogólnych, a nie konkretnych, musisz jednak umieć jakoś zapisać JAKąKOLWIEK liczbę o reszcie np. 3 i dlatego poręcznie jest mieć zapis 5k+3 (gdy k=4, dostajesz 23).

Nuti: Tak, to drobna pomyłka, Mila za szybko pisała. Ale widać, że już rozumiesz!

Metis: Tak, to rozumiem. Ale nie mogę sobie jakoś "przestawić" tego na dane zadanie.

Saizou : albo tak k(k+1)(k+9)(k²+1)= k(k+1)((k+4)+5)((k²−4)+5)= [k(k+1)(k+4)+5k(k+1)]((k²−4)+5)= k(k+1)(k+4)(k−2)(k+2)+5k(k+1)(k+4)+5k(k+1)(k−2)(k+2)+25k(k+1)= (k−2)k(k+1)(k+2)((k−1)+5)+5k(k+1)(k+4)+5k(k+1)(k−2)(k+2)+25k(k+1)= (k−2)(k−1)k(k+1)(k+2)+5(k−2)k(k+1)(k+2)+5k(k+1)(k+4)+5k(k+1)(k−2)(k+2)+25k(k+1) oraz stosowny komentarz

Metis: Cześć Saizou Próbuje zrozumieć podane rozwiązanie z resztą, ale coś mi nie trybi.

Benny: Metis, bierzesz udział w Diamentowym indeksie?

Metis: Nie

Nuti: @Metis Masz udowodnić swoją tezę dla DOWOLNEGO całkowitego k. Nic nie wiesz o jego podzielności przez 5, więc musisz rozważyć wszystkie 5 możliwości − gdy k ma resztę 0 przy dzieleniu przez 5, gdy k ma resztę 1..., ..., gdy k ma resztę 4 przy dzieleniu przez 5. Gdy pokażesz w każdym z tych przypadków (na przykład przy pomocy tej nieszczęsnej tabelki reszt z podanego linku) któryś z czynników dzieli się przez 5, to udowodnisz, że taki iloczyn dzieli się przez 5 dla każdego całkowitego k. Możesz też oczywiście liczyć inaczej, podano tu wiele różnych sposobów, wybierz ten, który do Ciebie przemawia i który najlepiej rozumiesz.

Saizou : Z resztami chodzi o to że możliwe reszty z dzielenia przez 5 to {0,1,2,3,4}, bierze się to z prostej obserwacji że 0:5=0+0 1:5=0+1 2:5=0+2 i tak dalej , aż się nie zapętli np. 21=4•5+1 i tak na prawdę działamy tylko na resztach, czyli na zbiorze {0,1,2,3,4} (nad każdą cyfrą powinna być kreska, taki zapis) wystarczy brać po kolei każdą z reszt i sprawdzić podzielność 0,1,4 dają bez rachunków podzielność dla 2 k²+1 generuje podzielność dla 3 k²+1 generuje i to koniec .

Benny: Sprawdź sobie zadanka. Termin jest chyba jakoś do końca października http://www.diament.agh.edu.pl/images/dokumenty/Matematyka-I_2015-2016.pdf

Metis: Brałbym udział, ale wiem że w ostatnich etapach oddałbym pustą pracę Nie chcę się kompromitować .

Mila: Rozważasz wszystkie przypadki: 1)k=5m , m∊C (reszta 0.) Wtedy: k(k+1)(k+9)(k²+1)=5m*(5m+1)*(5m+9)*(25m²+1)=5*[m*(5m+1)*(5m+9)*(25m²+1)] jest podzielne przez 5 jako wielokrotność liczby 5 2) k=5m+1 (5m+1)*(5m+2)*(5m+1+9)*[(5m+1)²+1]=5*(5m+1)*(5m+2)*(m+2)*[(5m+1)²+1] jest podzielne przez 5 jako wielokrotność liczby 5. Próbuj dalej sam.

Benny: Moim zdaniem pierwszy etap jest najtrudniejszy. Zadanka jesteś w stanie zrobić. Na stronie możesz przejrzeć zadania z poprzednich edycji

Metis: Dziękuje Wam za pomoc