Dowód z podzielności Monika: Wykaż, że dla KAŻDEJ liczby całkowitek k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5. Jak zabrać się za takie zadanie?

Qulka: przez indukcję https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

Nuti: Albo przez reszty, co kto lubi.

Nuti: Rozwiązanie przez reszty jest nawet bardzo wdzięczne. k²+1 może mieć tylko trzy reszty przy dzieleniu przez 5: 0, 1 lub 2. I w każdej takiej sytuacji znajdzie się któryś z pozostałych czynników z resztą 0.

5-latek: Na razie to pozostanie moja tajemnica ale już wiem kim jesteś Nuti )

anaisy: Jest kilka sposobów: 1. Najbardziej typowe rozwiązanie. Rozważamy przypadki, gdy: k=5n, k=5n+1, k=5n+2, k=5n+3, k=5n+4 dla pewnego całkowitego n. 2. Indukcja. Oznaczmy dane wyrażenie przez f(k). Krok 1. Pokazujemy dla k=0. Krok 2. Załóżmy, że 5| f(k). Łatwo sprawdzić, że różnica f(k+1)−f(k) jest podzielna przez 5, zatem 5|f(k+1). Mamy więc dowód dla wszystkich k≥0. Krok 3. Pokazujemy, że jeśli 5| f(k) to 5 |f(k−1) i mamy dowód dla ujemnych. 3. Podstawowe własności kongruencji: k(k+1)(k+9)(k²+1)≡₅ k(k+1)(k+9−5)(k²+1+5k+5)≡₅ k(k+1)(k+4)(k+3)(k+2). Wśród pięciu kolejnych liczb całkowitych jest jedna podzielna przez 5, zatem 5|k(k+1)(k+4)(k+3)(k+2).

Nuti: He he, to na jaką literkę zaczyna się moje nazwisko?

5-latek: Na jedna z liter polskiego alfabetu

Nuti: E, blefujesz. Podaj nazwę miasta.

anaisy: Czyżby Tarnowskie Góry ?

Nuti: Ładnie, @anaisy! W ramach uzupełnienia podam tabelkę, którą może sobie narysować osoba nieobeznana z kongruencjami. W każdym wierszu wypisuję reszty z dzielenia przez 5. W kolumnie 3 piszę k+4 zamiast k+9, bo różnią się o 5, więc mają tę samą resztę przy dzieleniu przez 5: k k+1 k+4 (k²) k²+1 0 1 4 (0) 1 1 2 0 (1) 2 2 3 1 (4) 0 3 4 2 (4) 0 4 0 3 (1) 2 Jak widać, w każdym wierszu jest jakieś 0 (kolumna k² się nie liczy, jest „pomocnicza", do wyliczenia reszty w następnej kolumnie), czyli przy dowolnej reszcie z dzielenia k przez 5 któryś z czynników w naszym iloczynie (a więc i cały iloczyn) jest podzielny przez 5. Uważam, że warto wspomnieć tę prostą metodę tabelkową, gdyż jest ogólna i dostępna dla każdego.

Nuti: NIE Tarnowskie G.!