Bardzo prosze o rozwiazanie tego rownania ☺ R: x³+6x²−3x+2=0

Nuti: Sprawdź, czy dobrze przepisane. Nie widzę na pierwszy rzut oka żadnego pierwiastka, a przydałby się...

Joe Black: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%2B6x^2-3x%2B2%3D0&dataset= brzydko...

Nuti: Oj!

PW: R, dobrze byłoby pisać na jakim poziomie ma być rozwiązane zadanie. Jeżeli jesteś studentem i omawialiście wzory Cardano, to trzeba się do nich zmusić. Jeden pierwiastek rzeczywisty na pewno jest, ale − jak pisze Nuti − nie jest on liczbą wymierną. Na poziomie liceum można tylko stwierdzić to co wyżej i poszukać kolejnych przybliżeń tego rzeczywistego pierwiastka.

Mariusz: Na poziomie liceum też można jeśli trygonometrii i ogólnie funkcji jeszcze nie wyrzucili

Mariusz: Poza tym Vax już jako gimnazjalista sobie z tym nieźle radził x³+6x²−3x+2=0 ((x+2)−2)³+6((x+2)−2)²−3((x+2)−2)+2=0 (x+2)³−6(x+2)²+12(x+2)−8+6(x+2)²−24(x+2)+24−3(x+2)+6+2=0 (x+2)³−15(x+2)+24=0 y=x+2 y³−15y+24=0 y=u+v (u+v)³−15(u+v)+24=0 u³+3u²v+3uv²+v³−15(u+v)+24=0 u³+v³+24+3(u+v)(uv−5)=0 u³+v³+24=0 uv−5=0 u³+v³=−24 uv=5 u³+v³=−24 u³v³=125 t²+24t+125=0 (t+12)²−19=0 (t+12−√19)(t+12+√19)=0 y=³√−12+√19+³√−12−√19 x+2=³√−12+√19+³√−12−√19 x=³√−12+√19+³√−12−√19−2 Gdyby równanie t²+24t+125=0 miało ujemny wyróżnik trzeba by było użyć trygonometrii Mając jeden pierwiastek możemy podzielić przez dwumian i sprawdzić czy jest to jedyny pierwiastek

Nuti: Wow, pięknie! A kto to jest Vax? Jak wpadłeś na wyłączenie właśnie (x+2) − czy to kwestia doświadczenia i spostrzegawczości, czy masz jakąś ogólną metodę? Jaką?

Nuti: Nie rozumiem, jak wnioskujesz, że u³+v³+24=0 i uv−5=0. Dlaczego?

Benny: Masz całe wyrażenie (u³+v³+24)+3(u+v)(uv−5)=0, aby to wyrażenie się zerowało to u³+v³+24=0 i uv−5=0

Kacper: Nuti to jedna z metod rozwiązywania równań 3 stopnia.

Benny: https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html Poczytaj tu

Nuti: @Benny W tę stronę to jest jasne, ale dlaczego tutaj można wnioskować w drugą stronę? Czyli dlaczego, wiedząc, że suma tych dwóch składników jest zero, możemy wywnioskować, że oba składniki są równe zero. 8+(−8)=0, a przecież żaden ze składników nie jest zerowy.

Nuti: Dzięki za link, poczytam sobie!

Nuti: @Benny Doceniam bardzo pomoc, ale @Vax również „prześlizguje" się przez ten newralgiczny moment bez słówka komentarza. Wierzę, że to jest poprawne, metody Cardana uczyłam się 100 lat temu w szkole (i zdążyłam zapomnieć) i wiem, że jest poprawna. Nie rozumiem jednak tego przejścia, że zerowa suma implikuje zerowość składników. Czy Ty to rozumiesz?

Benny: Powiem Ci, że tylko trochę liznąłem tę metodę. Bardziej patrzyłem na to jak na schemat, nie zagłębiałem się w to bardziej

Nuti: Ja przeanalizowałam ją wiersz po wierszu, bo mnie zaintrygowała. I tylko w tym miejscu mnie zamurowało... Chyba pójdę do Wikipedii, mimo że straszna (według opinii pod linkiem)...

Mariusz: Nuti która linijka jest niejasna ?

Nuti: Napisałam o 10:23, przejście z poprzedniej linii do tej, którą zacytowałam. Implikacja w „dziwną" stronę...

Nuti: Zerowa suma nie implikuje przecież zerowości składników.

henrys: @Nuti ale zawsze można strzelać, że te składniki będą zerowe, w najgorszym wypadku dostaniemy układ równań sprzecznych

Mariusz: Jeżeli chodzi o przejście z równania do układu równań to nie interesują nas wszystkie możliwości zapisania tego równania w postaci układu , wystarczy nam jedna Dlaczego przyrównujemy do zera ? Zauważ że jednym ze składników lewej strony jest iloczyn , a kiedy iloczyn jest równy zero ? Czynnika u+v nie możemy przyrównać do zera ponieważ założyliśmy że jest on równy y a to by oznaczało że y jest pierwiastkiem

Nuti: @Mariusz wiem przecież, że to działa dla iloczynu, ale tutaj stosuje się to do sumy! Mamy sumę zerową i wnioskujemy, że oba składniki (z czego jeden jest iloczynem, ale nie o niego mi chodzi) muszą być zerowe!

Nuti: @henrys No w sumie tak, ale jak to się dzieje, że metoda jednak ma jakąś wydajność? Gdyby to było strzelanie, to prawie nigdy byśmy nie trafiali, a ta metoda działa chyba dość dobrze. Podejrzewam więc, że za tym zerowaniem składników sumy musi stać jakieś głębsze rozumowanie, jakiś specjalny powód akurat takiego wyboru.

henrys: oczywiście

henrys: wydaje mi się, że najłatwiej to zrozumieć wracając z podstawieniem

Nuti: Ty rozumiesz?

Nuti: Dobra, nie musisz odpowiadać, widzę, że @teofrast zasadnia ten wybór. Dzięki za cierpliwość!

Nuti: Uzasadnia

henrys: etam, rozumiem , jakieś 15 lat temu z czystej ciekawości szukałem metod rozwiązywania takich równań

Nuti:

Mariusz: Wartości u i v są nieznane i próbujemy tak je wyznaczyć aby ten iloczyn można było przyrównać do zera a że układ równań przypomina wzory Vieta równania kwadratowego to po dopuszczeniu liczb zespolonych zawsze znajdziemy takie u i v Co do tej implikacji o której wspominasz to jest ona fałszywa ale tak jak henrys napisał możesz założyć że są równe W tym przypadku nie dostaniesz sprzeczności jeśli dopuścisz zespolone Jeśli nie znasz zespolonych to w sytuacji gdy układ równań będzie sprzeczny trzeba będzie skorzystać z trygonometrii Jest jeszcze inne podstawienie ale tutaj musisz uważać na dzielenie przez zero i dlatego przed zastosowaniem tego podstawienia sprawdzasz czy ze wzorów skróconego mnożenia nie można skorzystać Podstawienie to dla równania y³+py+q=0 wygląda tak

	p
y=u−
	3u