wyznacz granicę ciągu Mirek: Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach wyznacz granicę

	cos(2n)
limn→∞ =
	n2

Pewnie chodzi o to twierdzenie

	an		a
limn→∞ (		) =
	bn		b

Mirek: albo o to twierdzenie Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone (a_n), (b_n), (c_n), lim a_n n→∞ = lim c_n n→∞ = g oraz istnieje taka liczba δ, że dla każdej liczby naturalnej n większej od δ prawdziwa jest nierówność a_n ≤ b_n ≤ c_n, to lim b_n n→∞ = g

ICSP: Raczej o to : https://matematykaszkolna.pl/strona/3673.html

Saizou :

	1
zauważ że cos(2n) jest ograniczony a ciąg		zbieżny do zera, zatem wszystko zbiega do
	n2

zera

Mirek: Saizou, rozumiem, ale co z twierdzeniem? Właściwie nie rozumiem twierdzenia.

Saizou : Twierdzenie o 3−ciągach mówi tyle że jeśli pewien ciąg jest ograniczony z góry i z dołu i te ograniczenia mają wspólną granicę g to ten ciąg też jest zbieżny do g

	cos(2n)		1		−1
u nas ciąg		jest ograniczony z góry przez		a z dołu przez		,
	n2		n2		n2

bo −1≤cos(2n)≤1, ograniczenia te mają wspólną granicę równo 0, zatem ciąg wyjściowy ma też granicę równą 0

Mirek: Czy poprawne jest takie wnioskowanie z tego twierdzenia? a_n ≤ b_n ≤ c_n lim a_n→∞ = ⁻¹_n² = ^n2(−1/n2)_n² = ⁰₁ = 0 lim c_n→∞ = ¹_n² = ^n2(1/n2)_n² = ⁰₁ = 0 więc lim b_n→∞ = 0

Mirek: Źle skróciłem, ale chyba o tym mówiłeś.

Mirek: Ostatnie Podaj przykład ciągu a_n rozbieżnego do minus nieskończoności. Następnie dobierz taki ciąg zbieżny b_n, żeby ciąg a_n*a_n: a) był rozbieżny do plus nieskończoności b) był zbieżny

Mirek: a_n*b_n oczywiście

ICSP: a_n = −n a) b_n = −1

	1
b) bn =
	n2

Mila: −1≤cos(2n)≤1 /:n²

	1		cos(2n)		1
−		≤		≤
	n2		n2		n2

↓ ↓ 0 0

	cos(2n)
⇔		→0
	n2