Jeżeli ciągi a_n, b_n, c_n spełniają nierówność: a_n ≤ b_n ≤ c_n dla każdego n ∈ N i dodatkowo lim_{n → ∞} a_n = g oraz lim_{n → ∞} c_n = g to również lim_{n → ∞} b_n = g. Dowód. Ustalmy dowolnego ε > 0. Z istnienia granic ciągów a_n i c_n możemy znaleźć takie wskaźnik N, że |a_n - g| < ε oraz |c_n - g| < ε. Rozpisując wartość bezwzględną otrzymujemy: g - ε < a_n < g+ε, g - ε < c_n < g + ε. Ponieważ a_n ≤ b_n, a g - ε < a_n to g-ε < b_n, podobnie b_n ≤ c_n, c_n < g + ε to b_n < g + ε. Otrzymujemy w ten sposób g - ε < b_n < g + ε ⇔ |b_n - g| < ε. Co jest równoważne, że granicą ciągu b_n jest liczba g. Co kończy dowód.