aa Hugo: indukcja matematyczna Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 zachodzi: 1*1!+2*2!+3*3!+....+n*n=(n+1)!−1 dla n+1 1*1!+2*2!+3*3!+....+n!*n + (n+1)!(n+1) =(n+2)!−1 (n+1)!−1 + (n+1)(n+1) =(n+2)!−1 (n+1)! + (n+1)!(n+1) =(n+1)!(n+2) 1 + (n+1) =(n+2) n+2=n+2 układ nie oznaczony − udowodniłem

Eta: dla n=1 L=1 P=2−1=1 ⇒ L=P zał. indukcyjne dla n=k 1*1!+2*2!+...+k*k!=(k+1)!−1 teza indukcyjna n=k+1 1*1!+2*2!+...+k*k!+(k+1)*(k+1)!=(k+2)!−1 Dowód indukcyjny: L=(k+1)!−1+(k+1)!(k+1)= (k+1)!*(1+k+1)−1= (k+2)!−1 = P Twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego n≥1

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/940.html

Hugo: : )) czyli raczej nie skracasz a próbujesz dojść z L do P ! Dziękuję !

Eta: Huguś ......"skrócić " możesz portki na gorące lato

Hugo: szacunku do starszego młoda damo !

Hugo: @Eta https://matematykaszkolna.pl/forum/297676.html a tu mogła bys sprawdzic?

Hugo: l) 1 − 2 + 3 − 4 + ... + −2n = −n. nie umiem tego przykładu; pomogła byś?

Hugo: dla n = 1 choćby to jak to zrobić? 1 = −1? dla n = 2 1 −2 = −2? ?

Saizou : spr. dla n=1 L=1−2=−1=P Zał. 1−2+3−4+....+(2n−1)−2n=−n Pokażemy że zachodzi 1−2+3−4+...+(2n−1)−2n+(2n+1)−2(n+1)=−(n+1) L=1−2+3−4+...+(2n−1)−2n+(2n+1)−2(n+1)= =−n+2n+1−2n−2=−n−1=−(n+1)=P

Hugo: https://pl.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%E2%80%A6 tu takie znalazlem ale tego nie rozumiem wytłumaczyla bys mi?

Hugo: aha ! dzięki

Eta:

Hugo: 2ⁿ > n² dla każdego n>=5 tu też z indukcji matematycznej ? :c

Hugo: 2ⁿ>2n+1 oni takie cos zapisują, skąd to sie bierze?

Janek191: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + ( − 2 n) = ( 1 −2) + ( 3 − 4) + ... +[(2n − 1) − 2n)] = = n*(−1) = − n

Hugo: Dziękuję Janek a co do 19:15? mialbys jakis pomysl bo szukałem pomocy w googlu i tam przyjmują że n² >2n+1 , to moze tak byc? i potem podstawiają n=k, n=k+1 nie rozumiem tego podstawienia z 2n+1

PW: Nierówność kwadratowa spełniona dla n ...

kyrtap: 2ⁿ > 2n+1 1. Dla n = 5 2⁵>2*5 + 1 32>11 ⇒ PRAWDA 2. Dla T(n+1) 2ⁿ⁺¹ > 2(n+1)+1 = 2n + 3 Dowód: L = 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 > 2* (2n+1) = 4n + 2 > 2n + 3 ⇒ 2ⁿ > 2n+1 dla każdego n ≥ 5

kyrtap: Hugo poszedł spać

ciekawsi: matematyka dyskretna?

Hugo: Kyrtap a można np 3n + 1? albo n + 1?.. Czy to jest czymś uwarunkowane? 2n+1?

Hugo: zrozumialem to, dzięki aczkolwiek zawiłe

kyrtap: Popatrz Hugo Zał indukcyjnym jest: 2ⁿ>2n+1 Sprawdzam dla jakiegoś początkowego n czyli u nas n =5 (bo n≥5) 32 >11 czyli prawda Teraz teza indukcyjna czyli T(n+1) Nasza teza indukcyjna to: 2ⁿ⁺¹> 2(n+1) + 1⇒ 2ⁿ⁺¹>2n+3 (musimy tego dowieść że takie coś zachodzi dla każdego n≥5) Nasz dowód: Wychodzę z lewej strony nierówności (z tezy) czyli: L = 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2(tutaj sobie rozkładam na 2ⁿ*2 aby móc skorzystać z założenia 2ⁿ>2n+1 aby te 2ⁿ wykorzystać ) L = 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2 > 2*(2n+1) ( ważny moment bo korzystam z założenia jeśli 2ⁿ >2n+1 i dolepię po obu stronach 2 to jest prawdziwe również 2ⁿ*2 > 2*(2n+1) prawda? ) a więc L = 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ*2 > 2*(2n+1) = 4n+2>2n + 3 czyli doszedłem do prawej strony bo to już oczywiste że 4n+2 jest większe od 2n+3 dla każdego n≥5. Zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego n ≥5 . Teraz komentarz: Młody Kawalerze wychodź jak masz nierówność z którejś strony nierówności lub równania i popatrz jak możesz wykorzystać założenie indukcyjne czasami trzeba przez coś obustronnie pomnożyć, podzielić dodać aby wykorzystać założenie. Pozdrawiam

Hugo: Dzięki za wzór