Zadanie nr 49 5-latek: Przy jakich wartościach m i n trójmian mx²⁰+nx¹⁹+1 dzieli się bez reszty przez x²+x+1

Godzio: Zdaje się, że

	1
n =
	2

	1
m =
	2

5-latek: [ZGodzio]] ma wyjść m=n=1 Ale jak to w ogole zacząć dzielic mx²⁰ + nx¹⁹ +1 : x²+x+1 = mx¹⁸+(n−m)x¹⁷ −mx²⁰ −mx¹⁹ −mx¹⁸ =============================== (n−m)x¹⁹− mx¹⁸ jeśli możesz to dokncz

6-latek: Czy 5−latku to jest na pewno trójmian? A może to jest 20−mian?

Godzio: Tak, zgadza się 1 * 2 = 1, stąd mój błąd Ja to robiłem nieco bardziej zaawansowanie, bo dzielenie to męczarnia

5-latek: Tak to jest trójmian

ZKS: Nie wiem, czy zespolonymi nie było by łatwiej.

Godzio: ZKS, właśnie tak to zrobiłem

Godzio: ZKS*

ZKS: Wtedy wychodzi m = n = 1.

Godzio: Ano

ZKS:

	1		i√3
x2 + x + 1 = 0 ⇒ x = −		±
	2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		+		)20 = −		−
	2		2		2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		+		)19 = −		+
	2		2		2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		−		)20 = −		+
	2		2		2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		−		)19 = −		−
	2		2		2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		−		)m + (−		+		)n + 1 = 0
	2		2		2		2

	1		i√3		1		i√3
(−		+		)m + (−		−		)n + 1 = 0
	2		2		2		2

Raz dodajemy stronami otrzymujemy −m − n + 2 = 0 ⇒ m = n = 1 raz odejmujemy stronami otrzymujemy −i√3m + i√3n = 0 ⇒ m = n.

5-latek: Mi z dzielenia wychodzi tak mx¹⁸+(n−m)¹⁷−nx¹⁶ +mx¹⁵+(n−m)¹4}−nx¹³ +.............+ mx³+(n−m)x²−nx ZKS albo Godzio sprawdzcie czy dobrze ? Ale to mi tak nic nie daje gdzyz ten ostatni wielomian czyli mx³+(n−m)x²−nx musiałby być postaci x³−1 żeby był podzielny przez x²+x+1 a taki nie będzie

ZKS: To zadanie ewidentnie jest tak skonstruowane, aby wykorzystać znajomość liczb zespolonych. Takie jest moje zdanie.

5-latek: ZKS ja mam wskazowke do tego zadania ale chciałem zrobić to inaczej niż autor podpowiada na razie napiszse CI co jest we wskazówce : Zauwaz ze mx²⁰+nx¹9}+1= mx¹⁷(x³−1)+nx¹⁶(x³−1)+mx¹⁷+nx¹⁶+1 Ponieważ x³−1 dzieli się przez x²+x+1 wiec wielomian mx²⁰+nx¹⁹+1 daje taka sama reszte z dzielenia jak wielomian mx{17+nx¹⁶+1 . taka sama reszte daja tez wielomiany mx¹⁴+nx¹³+1, mx¹¹+nx¹⁰+1 mx⁸+nx⁷+1 mx⁵+nx⁴+1 i mx²+nx+1 Aby wielomian mx²+nx+1 był podzielny przez x²+x+1 przy każdej wartości x musi być tozsamosciowo spelniona rownosc mx²+nx+1= m(x²+x+1) a to zachodzi dla m=n=1 Wyjatkowo tutaj jest tak dluga wskazowka w tym zadaniu

5-latek: Będę jeszcze jutro probowal zrobić to dzielenie .

6-latek: W(x) = mx²⁰ + nx¹⁹ + 0x¹⁸ + 0x¹⁷ + ... + 0x² + 0x + 1 Czy to jest trójmian?

5-latek: Tak to jest trójmian mój o rok starszy kolego Możesz go sobie także nazwac wielomianem jednej zmiennej stopnia dwudziestego

5-latek: Ale może niech ktoś inny się wypowie .

PW: Wskazówka do rozwiązania zadania podana przez autora jest genialna (można ją traktować jako realizację idei tzw. niezmienników). Moje rozwiązanie 297521 zawierało podobny pomysł: − Nie wiadomo jaka jest reszta z dzielenia wielomianu przez inny? − Rozpatrywać wielomian niższego stopnia, dla którego reszta z dzielenia jest ta sama. Był to jednak tylko jeden krok takiego postępowania, a tu mamy kilka, w dodatku ze "sprytnym" x³ − 1.

5-latek: dziekuje Ci PW

ZKS: Naprawdę ciężko byłoby mi wpaść na to co było podane we wskazówce. Zresztą zbytnio nie myślałem o innym sposobie, skoro wyszło mi tamtym.

5-latek: Witaj ZKS Chcialem zrobić to dzieleniem ale tu naprawdę była masakra z tym dzieleniem Myslalem ze dojde po podzieleniu do takiego wielomianu żeby dostać wlasnie x³−1 .

Mila: Wg wskazówki: mx²⁰+nx¹⁹+1= mx¹⁷*x³+nx¹⁶*x³+1= =mx¹⁷*x³−mx¹⁷+mx¹⁷+nx¹⁶*x³−nx¹⁶*x³+nx¹⁶= =mx¹⁷*(x³−1)+nx¹⁶*(x³−1)+mx¹⁷+nx¹⁶+1 = =mx¹⁷*(x−1)*(x²+x+1)+nx¹⁶*(x−1)*(x²+x+1)+mx¹⁷+nx¹⁶+1 = =(x²+x+1)*P(x)+mx¹⁷+nx¹⁶+1 q(x)=(x²+x+1)*P(x) jest podzielne przez (x²+x+1) niezależnie od wyboru m i n. Teraz analogicznie rozpisujesz s₁(x)=mx¹⁷+nx¹⁶+1 = =mx¹⁴*(x³−1)+nx¹³*(x³−1)+1+mx¹⁴+nx¹³ i tak kolejno dojdziesz do postaci: W(x)=w(x)*(x²+x+1)+mx²+nx+1 (mx²+nx+1):(x²+x+1) podziel i przyrównaj resztę do zera.

5-latek: Dobry wieczor Milu Pozdrawiam dziekuje CI . Czy wczoraj bylas chora bo nie było Cie na forum ?

Mila: Dziękuję za dobre słowo. Dobranoc

ZKS: Witaj 5−latek i od razu dobranoc.

5-latek: Dobranoc

Saizou: Ja mam pewnien pomysl, ale sprawdze go jutro czy zadziala, bo juz jest za pozno

Saizou : mx²⁰+nx¹⁹+1= mx²⁰−m+nx¹⁹−n+1+m+n= m(x²⁰−1)+n(x¹⁹−1)+1+m+n= m(x−1)(x¹⁹+x¹⁸+x¹⁷...x⁴+x³+x²+x+1)+n(x−1)(x¹⁸+x¹⁷+x¹⁶.. .+x³+x²+x+1)+1+m+n= m(x−1)[x¹⁷(x²+x+1)+....+x²(x²+x³+x)+x+1]+n(x−1)[x¹⁶(x²+x+1)+...+x(x²+x+1)+1]+1+m+n już widać co jest podzielne przez x²+x+1, zatem zostanie nam m(x−1)(x+1)+n(x−1)+1+m+n=mx²+nx+1 a to ma być równe wielomianowi x²+x+1 (skoro ma być podzielny), stąd mamy m=n=1

5-latek: Czesc Saizou Niestety już w drugiej linijce nie wiem co zrobiles wiec postaraj się to wytlumaczyc (z komentarzem nawet jeśli będzie dużo pisania

Saizou : − w drugiej linijce tylko dodałem i dojąłem m,n − następnie pogrupowałem to tak aby uzyskać odpowiednio m(x²⁰−1) oraz n(x¹⁹−1) no i resztę m+n+1 − zastosowałem wzór x^k−1=(x−1)(x^k−1+x^k−2+...+x+1) − pogrupowałem wyrażenie a^k−1+a^k−2+...+k+1 tak aby uzyskać z każdego a²+a+1 i ewentualnie jakąś "niezgrupowaną" resztę − teraz z powrotem mnożę każdy czynnik w nawiasie przez to co jest przed nawiasem, czyli m(x−1), przy czym ostatni mnożenie to m(x−1)(x+1) oraz n(x−1), tę niezgrupowaną resztę traktuję jako jedno − każdy czynnik który zawiera wyrażenie x²+x+1 jest podzielny przez x²+x+1 − zatem zostaje nam to co nie jest podzielone czyi m(x−1)(x+1)+m(x−1)+1+m+n=mx²+nx+1 − skoro ten wielomian ma być podzielny przez wielomian x²+nx+1, no to jedynym wyjściem jest aby był on identyczny, stąd mamy m=n=1

5-latek: Ale po co odjajes i dodales m ,n Bo to potrzebne było Ci do pogrupowania ?

Saizou : dokładnie

Vax: Niech ω = e^2iπ/3, wtedy ω, ω² są pierwiastkami x²+x+1 = 0, skąd ω³ = 1 oraz f(ω) = f(ω²) = 0 Czyli mω²⁰ + nω¹⁹ + 1 = 0 oraz mω⁴⁰ + nω³⁸ + 1 = 0 skąd mω² + nω + 1 = mω + nω² + 1 ⇔ m(ω²−ω) = n(ω²−ω) ⇔ m = n, czyli m(ω²+ω) = −1 ⇔ −m = −1 ⇔ m = n = 1.

5-latek: Dobrze ten wzor x^k−1 = (muszse go sobie zapamiatac

5-latek: Musialo to być chyba ciekawe zadanie bo nawet kolega Vax się wlaczyl do rozwiązania Witam kolege

Saizou : jak zwykle Vax przychodzi i robi coś w 3 linijkach ah... te zespolone, ale w sumie miło który licealista je potrafi

5-latek:

5-latek: Może faktycznie zostawię to wszystko na razie i wezme się za zespolone Starczy miesiąc na nauke ?

Saizou : Szczerze mówiąc, liczby rzeczywiste wg. mnie bardziej ćwiczą myślenie

PW: 5−latek, miesiąc na naukę liczb zespolonych? Dwa lata.

Kacper:

5-latek: Czesc PW Dlaczego tak długo ?

5-latek : A jednak kiedys juz bylo to zadanie Jack patrzaj .

Jack: o kurcze, zatem ICSP widze niezle to skrocil chociaz w pewnym sensie podobnie do rozwiazania Mili... Moze tez sie wezme za zespolone ? hmm ; D

jc: Zadanie pojawiło sie kilka dni temu z takim rowiązaniem: x¹⁸ − 1 = (x³ − 1)(x¹⁵ + x¹² + x⁹ + x⁶ + x³ + 1) x³ − 1 = (x−1)(x²+x+1) mx²⁰+nx¹⁹+1 = mx²(x¹⁸ − 1) + nx (x¹⁸−1) + mx² + nx + 1 = mx²(x¹⁸ − 1) + nx (x¹⁸−1) + m(x² + x + 1) + (n−m)x + (1−m) Zatem x² + x + 1 dzieli nasz wielomian, o ile m=n=1.

wmboczek: można też dodać i odjąć x¹⁸ i pokazać, że x¹⁸(mx²+nx+1) musi dzielić się na x²+x+1