ciągłość funkcji bimbam: ciągłość funkcji dlaczego funkcja

	sinx
f(x)=		dla x≠0 i f(0)=1 jest ciągła dla x≠0
	x

Wiem, że jest nieciągła dla dla x=0, bo granice lewo i prawostronne nie są różne, Czy chodzi o to, że jak mam wzór

	sinx
limx→0		= 1
	x

to mogę podstawić za x dowolną liczbę np. 5 i prawdziwy będzie zapis

	sin5
lim5→0		= 1
	5

bimbam: lewo i prawostronne są różne,

john2: Chodzi Ci o zadanie 5.55 ?

john2: Ta funkcja jest ciągła dla wszystkich x.

	⎧	sinxx dla x ≠ 0
f(x) =	⎩	1 dla x = 0

	sinx
limx−>0+		= 1
	x

	sinx
limx−>0−		= 1
	x

f(0) = 1

john2:

	sinx
Wzór limx−>0
	x

oznacza, że jeśli argument sinusa zmierza do zera

	π
(może tam być coś bardziej skomplikowanego zamiast x, np.		(x − 8))
	8

i to co jest w mianowniku jest równe temu argumentowi, i oczywiście też zmierza do zera, to cały ułamek zmierza do 1.

bimbam: nie. Mi chodzi o zadanie 5.56 źle przepisałem początkowy wzór funkcji Wzór jest następujący

	sin x
f(x)=		i trzeba zbadać ciągłość funkcji, wiedząc, że x≠0, f(0)=1
	IxI

john2: Wtedy istotnie nie jest ciągła w x = 0 bo

	sinx
limx−>0−		=
	|x|

	sinx
= limx−>0−		= −1
	−x

	sinx
limx−>0+		=
	|x|

	sinx
= limx−>0+		= 1
	x

bimbam: Nie rozumiem tylko dlaczego funkcja jest ciągła dla x≠0 Bo wiem, że dla x=0 funkcja jest nieciągła

john2: Ostatnio zdałem podobne pytanie i nie dostałem w pełni satysfakcjonującej odpowiedzi. Np. za chwilę będziesz miał funkcję.

	1
f(x) = x +
	x

Wiadomo, że jest ciągła dla x ≠ 0 bo jest sumą dwóch funkcji ciągłych. Ale można pytać dalej: dlaczego funkcja f(x) = x jest ciągłą ? Na stronie 78 masz ciągłość najważniejszych funkcji. Wielomian (a więc f(x) = x też) jest funkcją ciągłą dla wszystkich x.

	sinx
Jeśli chodzi o f(x) =
	x

Myślę, że jest to pewne złożenie funkcji, ale nie wiem jakich. Chyba funkcji wymiernej i funkcji sinx. I też to będzie ciągłe. Generalnie w tego typu zdaniach jedynymi punktami podejrzanymi o nieciągłość są "przerwy" w dziedzinie. Albo niekoniecznie. Mogą być to też punkty "graniczne", dla których funkcja jest określona, np.

	⎧	−2 dla x ≤ 0
f(x) =	⎩	x3 − 2xx2 + 1 dla x >0

	x3 − 2x
Ten ułamek to
	x2 + 1

Tu badamy ciągłość w punkcie x = 0

Kacper: Iloraz funkcji ciągłych jest ciągły w dziedzinie.

bimbam:

	1
wiesz, właśnie nad tym samym przykładem [f(x) = x +		]sobie siedziałem i taką notatkę
	x

zrobiłem. Tu http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=15882 ktoś kto chyba się zna na matematyce pisze, że f. wymierne są ciągłe w swej dziedzinie. Czyli tutaj dziedziną są x∊R−{0} Co jest de facto nie bezpośrednio napisane w Krysickim. Bo na s. 78, twierdzenie 5.4.6, autor pisze, że funkcje wymierne są ciągłe dla tych wartości x, przy których mianownik jest różny od zera. Natomiast dziedziną f. wymiernej jest ten zbiór x, dla którego f. wymierna jest różna od zera. https://matematykaszkolna.pl/strona/1435.html Zatem trzeba się zastanowić, czy ta funkcja jest ciągła, ale w swojej dziedzinie, tj. dla x∊R−{0} W podanym linku Galen pisze, że funkcja jest ciągła w zbiorze,jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Funkcja jest ciągła w pewnym punkcie, gdy: (1) granice lewo i prawostronne w tym punkcie są sobie równe oraz (2) wartość funkcji w tym punkcie jest równa granicy lewo i prawostronnej. Zatem funkcja jest ciągła w swej dziedzinie, gdy będzie ciągła w każdym punkcie swej dziedziny. Więc np sprawdzam sobie, czy funkcja jest ciągła w punkcie a=5 granica lewostronna

	1		1
limx→5− = 5+		= 5
	5		5

	1		1
limx→5+ = 5+		= 5
	5		5

Czyli granice lewo i prawostronne są sobie równe.(spełniony warunek (1))

	1
Wartość funkcji w punkcie x=5 też jest równa 5		(spełniony warunek (2))
	5

Zatem warunki ciągłości funkcji w punkcie x=5 są spełnione. Jeśli przyjęlibyśmy dowolny punkt z dziedziny funkcji, czyli z przedziału x∊R−{0}, to otrzymamy też taki sam wniosek. Myślę, że tak trzeba uzasadnić zadanie, w którym należy zbadać ciągłość

	1
funkcji f(x) = x +
	x

Mam nadzieję, że nie piszę tutaj głupot

Kacper: Cały "problem" z dowodzeniem w sposób o którym mówisz polega na pokazaniu, że jest to prawdą dla dowolnego x z dziedziny, a konkretnie o zapis matematyczny. Dlatego korzystamy z pewnych twierdzeń, żeby za każdym razem nie dowodzić, że wielomiany to funkcje ciągłe. Gdyby polecenie było "wykaż, że..." to wtedy możnaby twierdzić, że autor chce formalnego dowodu.

bimbam: ja jestem na etapie "rozwiąż" a nie na etapie "udowodnij". Rozwiązać jest łatwiej niż udowodnić − moim zdaniem. Ale żeby "rozwiązać", to muszę wiedzieć dlaczego tak to należy zrobić. Na tym przykładzie chciałem sobie usystematyzować jakaś cząstkę wiedzy z tego zagadnienia ciągłości funkcji.

john2: Uporządkujmy. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych, pomijając liczby, dla których mianownik równa się zero. Funkcja wymierna jest ciągła w swojej dziedzinie. Czyli funkcja wymierna jest ciągła dla tych wartości x, przy których mianownik jest różny od zera. Ja bym to ostatecznie zrobił tak:

	1
f(x) = x +
	x

	1
jest sumą funkcji liniowej g(x) = x i funkcji wymiernej h(x) =
	x

Funkcja wielomianowa g(x) jest ciągła dla wszystkich x. Funkcja wymierna h(x) jest ciągła dla x ≠ 0. Zatem f(x) jest ciągła dla x≠0.

bimbam: moim zdaniem też OK