Oblicz całkę Całka: Mam taką całkę i nie bardzo wiem jak się za nią zabrać ∫√x²+2x+10dx

Hajtowy: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B2x%2B10%7Ddx

Całka: No wynik to sobie znaleźć potrafię, ale metodykę.

ledzeppelin20: to bedzie trudna trygonometryczna calka , najpierw musisz zrobic : ∫√(x+1)²+9 i podstawienie x+1=t , czyli dx=dt , masz: ∫√t²+9 i teraz podstawienie t=3tgu , sprobuj teraz rozwiazac, ale uprzedzam duzo roboty

Całka: oo dzięki, strasznie głupie jakieś

Mariusz: Pierwsze podstawienie Eulera będzie wygodniejsze √x²+2x+10=t−x

Mariusz: √x²+2x+10=t−x x²+2x+10=t²−2tx+x² 2x+10=t²−2tx 2tx+2x=t²−10 x(2t+2)=t²−10

	t2−10
x=
	2t+2

	2t2+2t−t2+10		t2+2t+10
t−x=		=
	2t+2		2t+2

	2t(2t+2)−2(t2−10)
dx=		dt
	(2t+2)2

	2t2+4t+20
dx=		dt
	(2t+2)2

	t2+2t+10	2t2+4t+20
∫			dt
	2t+2	(2t+2)2

1		((t+1)2+9)2
	∫		dt
4		(t+1)2

1		(t+1)4+18(t+1)2+81
	∫		dt
4		(t+1)3

1		dt		dt
	(∫(t+1)dt+18∫		+81∫		)
4		t+1		(t+1)3

1		(t+1)2		81	1
	(		+18ln|t+1|−			)+C
4		2		2	(t+1)2

1		(t+1)2		81	1
	(		+9ln|t+1|−			)+C
2		4		4	(t+1)2

1		(t+1)4−81
	(		+9ln|t+1|)+C
2		4(t+1)2

1		(t+1)2+9	(t+1)2−9
	(			+9ln|t+1|)+C
2		2(t+1)	(2(t+1))

1		t2+2t+10	t2−10+2t+2
	(			+9ln|t+1|)+C
2		2(t+1)	(2(t+1))

1
	((x+1)√x2+2x+10+9ln|x+1+√x2+2x+10|)+C
2

Dla porównania użyje podstawienia proponowanego przez amerykańców ∫√x²+2x+10dx √x²+2x+10=√(x+1)²+9 x+1=3tan(t)

	3
dx=		dt
	cos2(t)

	3
√9tan2(t)+9=
	cos(t)

	9
∫		dt
	cos3{t}

	1	9		1		9sin(t)
∫			dt=9tan(t)		−∫tan(t)		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)2

	1	9		1		9sin2(t)
∫			dt=9tan(t)		−∫		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)3

	1	9		1		9(1−cos2(t))
∫			dt=9tan(t)		−∫		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)3

	1	9		1		9		9
∫			dt=9tan(t)		−∫		dt+∫		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos3(t)		cos(t)

	1	9		1		9
2∫			dt=9tan(t)		+∫		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)

	9
Całkę ∫		dt
	cos(t)

można policzyć na kilka sposobów 1. Podstawienie cofunkcji i rozkład na sumę ułamków prostych 2. Wzór redukcyjny dla argumentu funkcji trygonometrycznych oraz podstawienie tangensa kąta połówkowego Proponuje sposób pierwszy bo drugi przypomina podstawienie Eulera które to na siłę chcecie unikać

	9		9cos(t)		9cos(t)
∫		dt= ∫		dt=∫		dt
	cos(t)		cos2(t)		1−sin2(t)

	9cos(t)
∫		dt
	1−sin2(t)

u=sin(t) du=cos(t)dt

	9
∫		du
	1−u2

9		A		B
	=		+
1−u2		1−u		1+u

A(1+u)+B(1−u)=9 A+B+(A−B)u=9 A+B=9 A−B=0 2A=9 B=A

	9
A=B=
	2

9		1		9		1
	∫		+		∫
2		1−u		2		1+u

	9		−1		9		1
=−		∫		+		∫
	2		1−u		2		1+u

	9		9
=−		ln|1−u|+		ln|1+u|+C
	2		2

	9		1+u
=		ln|		|+C
	2		1−u

9		1+sin(t)
	ln|		|+C
2		1−sin(t)

9		(1+sin(t))2
	ln|		|+C
2		1−sin2(t)

9		(1+sin(t))2
	ln|		|+C
2		cos2(t)

	1+sin(t)
=9ln|		|+C
	cos(t)

	1	9		1		9
2∫			dt=9tan(t)		+∫		dt
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)

	1	9		1		1+sin(t)
2∫			dt=9tan(t)		+9ln|		|+C1
	cos2{t}	cos(t)		cos(t)		cos(t)

	1	9		1		1		1+sin(t)
∫			dt=		(9tan(t)		+9ln|		|)+C2
	cos2{t}	cos(t)		2		cos(t)		cos(t)

	1		x+1+√x2+2x+10
∫√x2+2x+10=		((x+1)√x2+2x+10+9ln|		|)+C2
	2		3

	1		x+1+√x2+2x+10
∫√x2+2x+10=		((x+1)√x2+2x+10+9ln|		|)+C2
	2		3

	1
∫√x2+2x+10=		((x+1)√x2+2x+10+9ln|x+1+√x2+2x+10|)+C
	2

Po podstawieniu Eulera mamy tylko kilka przekształceń i liniowość całki W przypadku podstawień proponowanych przez amerykańców trzeba jeszcze całkować przez części , drugi raz podstawiać i rozkładać na sumę ułamków prostych

Mila: Jeśli chcesz inny sposób , to napisz.

azeta: ja bym prosił jeśli można jeszcze inny sposób a tak w ogóle, może moje pytanie wydać się komuś trywialne (dopiero zaczynam zabawę z całkami)− skąd biorą się te podstawienia Eulera? może źle zadaję pytanie, ale w nie mogę nigdzie znaleźć odpowiedzi jak zostało to skonstruowane, dlaczego tak się podstawia a nie inaczej.

Mila: Podstawienia masz wyjaśnione w Krysickim i rozwiązane przykładowe rozwiązania. Jeżeli to Twoje początki z całkami ( studia czy samokształcenie?) to radzę poczytać. Czy całki wymierne już opanowałeś?

Mila: ∫√x²+2x+10 dt= =∫√(x+1)²+9 dt=...

	x+1
[x+1=3t, dx=2dt, t=		]
	3

..=3∫√9t²+9 dt=9∫√t²+1 dt Na taka całkę jest wzór (wyprowadzony w Krysickim i innych podręcznikach) ∫√x²+k*dx= gdzie k− dowolna stała (dodatnia lub ujemna)

x		k
	*√x2+k+		ln|x+√x2+k|+C
2		2

Zatem nasza całka:

	t		1
9*(		√t2+1+		ln|t+√t2+1|=
	2		2

teraz wróć do zmiennej x.

Mila: Tu zobacz całe rozwiązanie . https://matematykaszkolna.pl/forum/270882.html

Mariusz: azeta znasz rosyjski ? Jest to wyjaśnione u Fichtenholza (Jak znasz rosyjski to mogę podesłać fragment Fichtenholza bez przekładu)

Mariusz: O całkach proponowałbym czytać w tej kolejności 1. Ogólne wiadomości Przypomnienie wiadomości o pochodnych, co to jest funkcja pierwotna , funkcja podcałkowa itp 2. Podstawowe metody całkowania liniowośc całki , całkowanie przez części , całkowanie przez podstawienie Jako przykład całkowania przez części podałbym wyprowadzanie wzorów redukcyjnych nie tylko takich dziwacznych jakie amerykańcy podają ale bardziej praktycznych takich jak całki z całkowitych potęg funkcyj trygonometrycznych (sin,cos,tan) i całki z ułamka prostego

	1
	(x2+1)n

3. Całkowanie funkcyj wymiernych Rozkład na sumę ułamków prostych korzystanie z liniowości i całkowanie ułamków prostych Tutaj można zauważyć że nie zawsze warto rozkładac na sumę ułamków prostych czasami wystarczy jakieś podstawienie, całkowanie przez części , dodanie i odjęcie jakiegoś składnika aby ułamek się poskracał , czy też wydzielenie części wymiernej całki a) deg L(x)≥deg M(x) Wykonujesz dzielenie pisemne wielomianów b) gcd (M(x),M'(x))≠const

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M(x)=M₁(x)M₂(x) M₁(x)=gcd (M(x),M'(x)) Liczniki znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych ich stopień jest mniejszy niż stopień mianownika c) Mianownik nie ma pierwiastków wielokrotnych Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych ale jest on już łatwiejszy 4.Całki R(x,√ax²+bx+c) Podstawienia Eulera √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=xt− √c c>0 √ax²+bx+c=( x−x₁)t b²−4ac>0 W pierwszych dwóch podstawieniach możemy też wziąć dodatni pierwiastek ze współczynnika a w trzeciej można też wziąć ten drugi pierwiastek trójmianu kwadratowego 5. Całki x^m(a+bxⁿ)^p Niech

	r
p=
	s

p∊ Z t=x^m

m+1
	∊ Z
n

t^s=(a+bxⁿ)

m+1
	+p∊ Z
n

	a
ts=b+
	xn

6. Całki R(sin(x),cos(x)) Podstawienia t=sin(x), t=cos(x),t=tan(x)

	x
oraz t=tan(		)
	2

7. Całki ∫R(e^x)dx Podstawienie samo się narzuca [tex]t=e^x[/tex] Do tej postaci sprowadzają się całki [tex]R(\sinh{x},\cosh{x})[/tex] 8. Całkowanie przez rozwinięcie w szereg oraz sprowadzanie do znanych całek nieelementarnych takich jak sinus i cosinus całkowy , logarytm całkowy , Gamma funkcja błędu , sinus i cosinus Fresnela no i całki eliptyczne

azeta: dziękuję bardzo za Wasze wszystkie wypowiedzi co do całek − się samokształcę znaczy wygląda to mniej więcej tak: przesłuchałem od deski do deski chyba wszystkie wykłady internetowe z analizy matematycznej P. Wrocławskiej dość sporo w Krysickim, jednak są pewne rzeczy po prostu dla mnie niejasne. rozumiem te podstawowe podstawienia, przez części też jest dla mnie dość zrozumiałe− bo widzę te "pewne rzeczy" i całość w sumie nie jest zbyt skomplikowana. natomiast z podstawieniami Eulera jest tak, że wszędzie gdzie się spotykam z nimi jest − całka− tadam tutaj użyjemu podstawienia Eulera. trochę chyba źle się wyraziłem we wcześniejszej wypowiedzi− po prostu nie umiałbym wyprowadzić wzoru, ot co. a za bardzo u Krysickiego też nie ma wytłumaczone co się skąd bierze. ale szybko się uczę rosyjskiego niestety nie znam, może gdyby było po niemiecku... to jeszcze, ale z duuużymi trudnościami

Mariusz: Szkoda podesłałbym ci oryginalną wersję językową , no i z prawami autorskimi nie byłoby problemu a tak to musisz zaufać tłumaczom i mieć nadzieję że to co darasy pisały o prawach autorskich to jednak prawda Tu masz zarówno rosyjską jak i polską wersję językową https://matematykaszkolna.pl/forum/286351.html

azeta: dziękuję Ci Mariusz za ten link, będę próbował zrozumieć, jak dojdę do takich całek− narazie wracam do tych bardziej podstawowych

Mariusz: Azeta przyswoiłeś sobie liniowość całki , całkowanie przez części i jakieś "prostsze" podstawienia ? Przy całkowaniu przez części pamiętaj o wzorach redukcyjnych na całki całkowitych potęg funkcyj trygonometrycznych takich jak (sin cos tan)

	1
oraz na ułamek prosty
	(1+x2)n