Ekstrema A4Tech: Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: f(x,y) = x² + xy + y² − 24ln(y) Proszę o pomoc

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/99123.html

A4Tech: Dużo mi to nie dało... Coś więcej? Jakieś pełne fajne rozwiązanie? Bardzo mi zależy

ICSP: Przecież masz na dole schemat. Wystarczy go zastosować

J: to może chociaż policz pochodne cząstkowe

A4Tech:

f
	= 2x+y
x

f		1
	= 2y+x−24		?
y		y

J: teraz rozwiąż ukad równań: f_x =0 f_y = 0

A4Tech: 2x+y=0

	1
2y+x−24		=0
	y

Taki?

J: taki

A4Tech:

	24
Ale jak skoro jest −		? Nie ogarniam...
	y

A4Tech:

	8
x=−		?
	y

A4Tech: Wyszło mi, że: x=4 y=−2

J: coś źle liczysz ..... y z pierwszego wstaw do drugiego

J: masz dostać: P₁ = (2,−4) , P₂ = (−2,4)

A4Tech: Dalej mi wyszło, że x=4

J: pokaż te swoje rachunki

A4Tech:

	24
−4x+x−		=0
	−2x

	24
−3x=−		|| * 2x
	2x

−6x = −24 x=4

A4Tech: okej mam błąd 6x²=24 x²=4 x=2 v x=−2 y=−4 v x=4

J: teraz drugie pochodne

A4Tech: Tzn. z czego mam te pochodne liczyć?

A4Tech: Mam policzyć pochodną z 2x+y?

J: z pierwszych f_xx , f_xy , f_yx , f_yy

J: f_xx − pochodna po x z f_x

A4Tech: f_xx = 2 ?

J: tak ... i dalej

A4Tech:

	24
fyy = 2 +		?
	y2

A4Tech: f_xy = 1 ?

J: tak ... oraz f_xy = f_yx = 1 teraz tworzysz wyznacznik: f_xx f_xy f_yx f_yy i liczysz jego wartość w punktach: P₁ oraz P₂

A4Tech: Wyznacznik:

48
	+3 ?
y2

J: Muszę kończyć ... dla obydwu punktów wyjdzie wyznacznik dodatni, a to oznacza,że funkcja ma w tych punktach ekstremum, a ponieważ w obu przypadkach f_xx >0 , więc są to minima lokalne

J: Wyznacznik: 2 1

	24
1 2+
	y2

... i zauważ,że zarówno dla: y = 4 , jak i y = −4 jest on dodatni

ICSP: J nie baw się w zespolone.

A4Tech: Ale ja chce proste rozwiązanie... jak dla dziecka z podstawówki bo chcę to ogarnąć

J: Witaj ICSP ... nie łapię

ICSP: Dziedzinę naszej funkcji ustaliłeś ?

J: Teraz "zajarzyłem" ... dzięki za poprawienie

J: do autora ... dlaczego punkt P(2,−4) .. odrzucamy ?