ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y): f(x,y)=x³+3x²y−6xy−3y²−15x−15y

Trivial: The return of the king...

Jack: never give up...

Piotr student: zaraz napisze co wiem ok gorąco

Piotr student: f'x=3x²+6y−6y−15

Basia: nie f'_x = 3x²+3y*2x−6y−15 = 3x²+6xy−6y−15

Piotr student: f'y=3x²−6x−6y−15

ICSP: to na tym to polega xD f'y = 3x² −6x −6y −15 Dobrze myślę?

Basia: f'_y u obu panów jest dobrze policzona

Basia: teraz szukamy miejsc zerowych pierwszych pochodnych czyli rozwiązujemy układ 3x²+6xy−6y−15=0 3x²−6x−6y−15=0 3x²−6y−15 = −6xy 3x²−6y−15 = 6x stąd: −6xy = 6x 6x+6xy=0 6x(1+y)=0 x=0 lub y= −1 dla x=0 mamy z drugiego równania 3*0 − 6*0 − 6y −15 = 0 −6y = 15

	15		5
y =		= −
	−6		2

punkt "podejrzany" o ekstremum A(0, −⁵₂) dla y= −1 znów z drugiego mamy 3x²−6x−6*(−1)−15=0 3x²−6x+6−15=0 3x² − 6x−9=0 /:3 x²−2x−3=0 Δ=4−4*1*(−3) = 16

	6−4
x1 =		= 1
	2

	6+4
x2 =		=5
	2

czyli kolejne punkty "podejrzane" o ekstremum to B(1, −1) i C(5, −1)

Basia: teraz liczcie f"_xx, f"_xy, f"_yx, f"_yy

ICSP: ja dopiero po liceum ale postaram się

ICSP: f'xx = 6x + 6y f'xy = 6x − 6 f'yx = 6x − 6 f'yy = −6 tak to się liczy?

Piotr student: mam pytanie Basiu a skąd ci się wzieło −6xy=6x?

Basia: bardzo dobrze, właśnie tak; licząc pochodną po jednej zmiennej drugą traktujesz jak stałą prawda, że łatwe ?

ICSP: 3x² − 6y − 15 = −6xy 3x² − 6y − 15 = 6x Wyrażenia zielone są identyczne − metoda podstawiania.

Basia: do Piotra jeżeli lewe strony równań są równe to prawe też muszą być równe

Piotr student: nie rozumiem tego możesz mi wytłumaczyć?

Trivial: ISCP, dobrze. Tak nawiasem, to z twierdzenia Schwarza wiemy, że kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, a więc np. f_xy = f_yx.

Piotr student: chodzi mi w praktyce jak się liczy bo chyba to gorąco na mnie tak wpływa

Basia: tak jak napisałam o 22:14 licząc pochodną po jednej zmiennej drugą zmienną traktujesz jak stałą a rozwiązanie tego układu to już kwestia spostrzegawczości

Piotr student: napiszcie mi wytłumaczenie prosze a ja pójde coś zjeść ok bo jestem głodny

Piotr student: ale ja tego nie widze

Basia: czego konkretnie ?

Piotr student: moge prosić o podobny przykład żeby spróbować rozwiązać

Piotr student: już skapowałem o co chodzi

Piotr student: co trzeba teraz liczyć proszę o podpowiedz

Piotr student:

Basia: W(x,y) = f_xx*f_yy − f_xy*f_yx i zbadać kolejno jego wartość w punktach A,B,C "podejrzanych " o ekstrema

Piotr student: zaraz napiszę

Piotr student: A(0,−⁵₂)

Basia: najpierw policz W(x,y) W(x,y) = (6x+6y)*(−6) − (6x−6)*(6x−6) = −36x−36y− [ 36x²−72x+36] = −36x−36y−36x²+72x−36 = −36x²+36x−36y−36 = −36(x²−x+y+1) A(0, − ⁵₂) W(0, −⁵₂) = −36(0² − 0 − ⁵₂+1) = −36*(−³₂) = 18*3 > 0 w tym punkcie może być ekstremum liczymy f_xx(0, − ⁵₂) = 6*0+6*(−⁵₂) = −3*5 = − 15<0 stąd wynika, że w punkcie A(0, −⁵₂) funkcja ma maksimum tak samo trzeba rozważyć punkty B i C

Piotr student: a czego liczymy f''xx moge o wyjaśnienia prosić?

Piotr student: B=(1,−1) W(1,−1)=−36(1²−1+(−1)+1)=

Piotr student: =−36+36+36−36

Piotr student: proszę o sprawdzenie

Piotr student: coś chyba żle

Piotr student: Basia sprawdz

Basia: = −36(1−1−1+1) = 0 nie da się rozstrzygnąć czy w B jest jakieś ekstremum −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− co do poprzedniego pytania: pochodna f"_xx decyduje o tym czy ekstremum (jeżeli w ogóle istnieje) jest maksimum czy minimum dowodu, jeżeli chcesz go znać, musisz już raczej poszukać w podręcznikach, albo w notatkach z wykładów; tutaj raczej trudno byłoby mi to wyjaśniać

Piotr student: W(5,1)−36(5−(−1)+(−1)+1)=−36(5+1−1+1)=−36(7−1)=−36(6)=−216<0

Piotr student: co liczyć Basia proszę o podpowiedz

Basia: nic; skoro W(5,1) < 0 ⇒ w punkcie C(5,1) nie ma ekstremum

Basia: Napiszę Ci schemat badania ekstremów funkcji dwóch zmiennych. Przepisz go sobie w jakimś sympatycznym edytorze duuuuuuuuuuużą czcionką, wydrukuj i korzystaj z niego rozwiązując tego typu zadania.

Piotr student: wniosek funkcja nie ma w punkcie C ekstremum

Basia: Schemat 1. liczymy f'_x i f'_y 2. szukamy miejsc zerowych pierwszych pochodnych czyli rozwiązujemy układ równań f'_x = 0 f'_y = 0 rozwiązanie (rozwiązania) tego układu to współrzędne punktu (punktów), w których funkcja może (ale nie musi) mieć jakieś ekstremum (ekstrema) 3. liczymy f"_xx, f"_xy, f"_yx, f"_yy 4. liczymy wyznacznik Hessego W(x,y) = f"_xx*f"_yy − f"_xy*f"_yx 5. liczymy wartość tego wyznacznika, dla każdego z punktów wyznaczonych w p−cie (2) −−− jeżeli W(x₀,y₀)<0 ⇒ w punkcie P(x₀,y₀) nie ma ekstremum ⇒ go to :end −−− jeżeli W(x₀,y₀)=0 ⇒ nie potrafimy rozstrzygnąć czy w punkcie P(x₀,y₀) jest jakieś ekstremum ⇒ go to :end −−− jeżeli W(x₀,y₀)>0 ⇒ w punkcie P(x₀,y₀) jest jakieś ekstremum ⇒ musimy zbadać czy jest to minimum czy maksimum ⇒ go to :6 6. liczymy wartość f"_xx(x₀,y₀) −−− jeżeli f"_xx(x₀,y₀)>0 ⇒ w p−cie P(x₀,y₀) mamy minimum ⇒ go to :end −−− jeżeli f"_xx(x₀,y₀)<0 ⇒ w p−cie P(x₀,y₀) mamy maksimum ⇒ go to :end −−− jeżeli f"_xx(x₀,y₀)=0 ⇒ błąd w obliczeniach ⇒ go to :1 end UWAGA! (5) i (6) powtarzamy oczywiście tyle razy ile punktów wyznaczyliśmy w p−cie (2)

kuba: zdaje sie ze jak Basia wyznaczala punkty B i C to zle policzyla delte. najpierw skrocila cale dzialanie przez 3, a potem wziela do obliczen b=6 z dzialania nieskroconego