Wlasnosci liczb 5-latek: Zadanie . Dla jakich wartości naturalnych n wyrażenie N= n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)² jest calkowita wielokrotnoscia liczby 10 N=n²+n²+2n+1+n²+4n+4+n²+6n+9= 4n²+12n+14 I to ma się rownac jakies 10p gdzie p to calkowita wielokrotność liczby 10 ? Ale wtedy nie rozwiaze tego równania bo będę miał dwie niewiadome n i p

pigor: ..., no i dobrze myślisz, spójrz może na to tak :

n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2
	= p ∊ C ⇔
10

	4n2+12n+14		2n2+6n+7		2(n2+6n+7)
⇔		=				... i co
	10		5		5

pigor: ..., o kurde źle co tam ,,, a uciekło mi ...

Kacper: Pigor tylko jak podzielisz na sumę dwoch ułamków to nie muszą one dawać wyników całkowitych, a wynik będzie całkowity

pigor: ..., ten ostatni ułamek niepotrzebny ...

Kacper: Ja doszedłem do tego, że wyrażenie n²+3n+3 musi dawać przy dzieleniu przez 10 resztę 2 lub 7, aby cała liczba była wielokrotnością 10. I to tyle, bo teraz badanie reszt jest monotonne... Trzeba pomyśleć o jakimś innym tricku.

5-latek: Czesc Czyli zapisales to tak . Podzieliles to wyrażenie przez 10 i to ma się rownac całkowitej wielokrotności liczby 10

	2n2+6n+7
Teraz		=0 to 2n2+6n+7=0 Δ<0 wiec nie ma n .
	5

Wiec cos nie tak robie

pigor: ... , ;racja .to może dalej

	2n2+6n+2+5		2(n2+3n+1)
...=		=		+ 1 i widać, że dla n=1 o.k.
	5		5

a co dalej, czy to wszystko, trzeba to jakoś uzasadnić. ...

Kacper: Czyil zajmujemy się tylko wyrażeniem n²+3n+1

5-latek: Caly czas patrze na ta Twoja rozpiske z 22:06 i zastanawiam się dlaczego tak rozpisales no to sprawdzmy np. n=2

(4+6+1)*2
	+1= nie wychodzi calkowita
5

vaultboy: Zadanie sprowadza się do: Dla jakich n zachodzi n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²≡0 (mod 10)? NWD(2,5)=1 wystarczy zbadać kiedy zachodzą równości: n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²≡0 (mod 2) n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²≡0 (mod 5) pierwsza równość zajdzie dla każdego n, bo mamy sumę dwóch liczb nieparzystych i dwóch parzystych (chyba jasne) badamy kiedy zachodzi druga równość: mamy 5 przypadków: n jest postaci 5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 jedynie spełnia to n postaci 5k+1 Odp: Dla n postaci 5k+1

5-latek: Nie rozumiem tego . czyli to trzeba n²+3n+1 rozpisać jako kwadrat ? czyli n²+3n+1= (n+1)²+n (tylko przepraszam za wyrażenie co to nam da

5-latek: Może kolego vaultboy pozwolis ze na razie zwroce się do pigora

	2(2n2+3n+1
Czyli wyrażenie		musi być całkowite bo wtedy jeśli dodamy do tego 1 to tez
	5

cale wyrażenie będzie całkowite

vaultboy: inny sposób: Wymnażamy na pałę to wyrażenie i dostajemy, że 4n²+12n+14=0 mod 10

	4n2+12n+14
Tak jakby		jest liczbą całkowitą
	10

	2n2+6n+7
Stąd		jest liczbą całkowitą
	5

czyli 2n²+6n+7=0 mod 5 (2n²+n+2)+5n+5=2n²+n+2=0 mod 5 i analogicznie 5 przypadków

vaultboy: Ups, sry

5-latek: Ja Cie bardzo przepraszam ale nie miałem w szkole modulo. ja już to mniej więcej rozumiem dlaczego tak (tylko ze nie umiem tego rozwiazac na przystawanie

5-latek: Po przemyśleniach doszsedlem do takiego wniosku

	2(n2+3n+1
To wyrażenie		musi być podzielne przez 5 a wiec musi mieć postac 5k wiec
	5

aby wiec aby naszse N było wielokrotnoscia liczby 10 to n musi będzie postaci 5k+1 . Tyle co na teraz wymyslilem

5-latek: Zostawiam to jeszcze do przemyślenia . zastanawiam się jeszcze na d sprowadzeniem do kwadratu 4n²+12n+14

5-latek: Wiec tak 4n²+12n+14= (2n+3)²+5 i to ma się rownac jakiejś calkowiwitej wielokrotności liczby 10 czyli (2n+3)² +5= 10k dalej (2n+3)²=10m+5 co dalej daje nam 2n+3= 10p+5 co dalej daje nam n=5p+1 gdzie k,m p ∊N Mysle ze to rozwiązanie będzie OK. jednak chciałbym poznac to pierwsze rozwiaznie . Mam na myśli rozwiązanie zaproponowane przez pigora

5-latek: Czyli tak Doszlismy do tej postaci

2(n2+3n+1
	+1 wiem skad się wzielo (rozumiem te przekształcenia
5

	2*5
dla n=1 dostaniemy		+1=2+1=3
	5

	2(4+6+1
n=2 to		+1≠C
	5

	2*19
dla n=3		+1≠C
	5

	2*29
dla n=4		+1≠C
	5

	2*41
dla n=5		+1≠C
	5

No ale pewnie tutaj nie chodzi o to żeby po kolei sprawdzać . Musi tu być cos innego

5-latek: czy w tym sposobie należy rozwiazac równanie w liczbach całkowitych?

Kacper: Sprawdzasz liczby postaci 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3,5k+4

Ditka: aby 4n²+12n+14 było całkowitą wielokrotnością liczby 10 musi mieć 0 na cyfrze jedności więc cyfrą jedności 4n²+12n musi być 6 4n²+12n=4n(n+3) zapiszę symbolicznie 4n(n+3)=□6 6 na cyfrze jedności możemy otrzymać mnożąc przez siebie liczby □1*□6 lub □2*□3 lub □2*□8 lub □4*□4 lub □4*□9 (i oczywiście □6*□1, □3*□2...) cyfrą jedności liczby 4n mogą być cyfry 1) 4 (dla n=□1 lub n=□6) 2) 8 (dla n=□2 lub n=□7) 3) 2 (dla n=□3 lub n=□8) 4) 6 (dla n=□4 lub n=□9) 5) 0 (dla n=□5 lub n=□0) Sprawdzamy 1),2),3) i 4) 1) n=□1 4n=□4 n+3=□4 4n(n+3)=□6 − pasuje n=□6 4n=□4 n+3=□9 4n(n+3)=□6 − pasuje 2) n=□2 4n=□8 n+3=□5 4n(n+3)=□ 0 − nie pasuje n=□7 4n=□8 n+3=□0 4n(n+3)=□0 − nie pasuje 3) n=□3 4n=□2 n+3=□6 4n(n+3)=□2 − nie pasuje n=□8 4n=□2 n+3=□1 4n(n+3)=□2 − nie pasuje 4) n=□4 4n=□6 n+3=□7 4n(n+3)=□2 − nie pasuje n=□9 4n=□6 n+3=□2 4n(n+3)=□2 − nie pasuje rozwiązaniem zadania są liczby, których cyfrą jedności jest 1 lub 6

5-latek: Przepraszam ze może to zabrzmi w takim niedobrym tonie ale rozpisz mi to dla np. trzech pierwszych postaci

Kacper: 5−latek spójrz na post vaultboy 16 maja 22.22.

Ditka: Nie bardzo wiem o które postaci chodzi. Symbolem □ oznaczyłam wszystkie pozycje przed cyfrą jedności, więc np.□2 oznacza liczby których cyfrą jedności jest 2 więc np. 112, 62, 34562 ...

Ditka: sry, to chyba nie było do mnie

5-latek: Ditka na razie dziekuje CI Kacper ja tego nie rozumiem co to jest np. modulo 2 czy 5 . ja tego w szkole nie miałem . Naprawde . Wiec pokaz mi na jednym przykładzie

5-latek: Jeśli chodzi o post 1605 22:22 to co do 2 to rozumiem to tak mamy sume dwóch liczb parzystych a suma dwóch liczb parzystych jes liczba parzysta i sume dwóch liczb nieparzystych a suma dwóch liczb nie parzystych może być liczba parzysta wiec suma tych 4 liczb jest liczba parzysta a liczba parzysta dzieli się przez 2 ( o to tutaj chodzi ? Natomiast co do tej 5 to już nie bardzo wiem wiec jeśli mamy n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²≡0 (modulo 5) (czyli co musi być ona podzielna przez 5 (tak Teraz co robimy ? W miejsce n wstawiamy np. 5k i liczymy (5k)²+(5k+1)²+(5k+2)²+(5k+3)²≡0? 100k²+60k+14=(10k+3)²+5 ale co to oznacza ? Teraz w miejsce n wstawiamy 5k+1 (5k+1)²+(5k+2)²+(5k+3)²+5k+4)²≡0 100k²+100k+30= 10(10k²+10k+3) czyli dostaliśmy postac 10k gdzie k=10k²+10k+3 i k ∊C teraz z wmiejsce n wstawaimy 5k+2 (5k+2)²+(5k+3)²+(5k+4)²+(5k+5)²≡0 100k²+140k+54 (czyli nie dostane postaci 10k tak jak poprzednio Jeszcze badam dla n=5k+3 i 5k+4 tak samo

5-latek: Natomiast jeśli chodzi o rozwiązanie to

2(n2+3n+1
	+1
5

to tak samo tez w miejsce n wstawimy 5k , 5k+1, 5k+2, 5k+3 5k+4 i liczymy czy dostaniemy postac 10k ? no to policzmy dla n=5k

2((5k)2+3*5k+1
	+1
5

2(25k2+15k+1
	+1
5

50k2+30k+2
	+1
5

	2
10k2+6k+1		nie przesdstawimy to w postaci 10k
	5

wezmy za n=5k+1

2(5k+1)2+3(5k+1)+1
	+1 i tutaj tez nie dostane postaci 10k gdyż po wymnożeniu mam
5

10k²+10k+3 ( wiec jest niedobrze

5-latek:

	2[(5k+1)2+3(5k+1)+1)]
Wobec tego ze w ostatnin zapisie ma być		+1
	5

co robie zle

5-latek: Podbije

5-latek: Zaraz Milu to będę analizowal i napiszse czego nie rozumiem

Mila: Kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 5 daje resztę 0 lub 1 lub 4. Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą parzystą. Zatem musimy dobrać , takie 4 kolejne liczby naturalne, aby suma reszt kwadratów kolejnych liczb przy dzieleniu przez 5 była podzielna przez 5. Rozważamy przypadki: 1) 5k, 5k+1,5k+2, 5k+3 suma reszt kwadratów : 0+1+4+4=9 nie odpowiada 2) 5k+1,5k+2, 5k+3, 5k+4 suma reszt: 1+4+4+1 =10 podzielna przez 5 sprawdzenie: (5k+1)²+(5k+2)²+( 5k+3)²+( 5k+4 )²= 25k²+10k+1+25k²+20k+4+25k²+30k +9+25k²+40k+16= =100k²+10k+30=10*(10k²+10k+3) liczba podzielna przez 10 3) 5k+2,5k+3, 5k+4, 5k+5 suma reszt kwadratów : 4+4+1+0=9 nie dzieli się przez 5 4)5k+3, 5k+4, 5k+5 ,5k+6 suma reszt kwadratów : 1+1+0+1 =3 nie dzieli się przez 5 5) 5k+4,5k+5, 5k+6, 5k+7 suma reszt : 1+0+1+2=4 nie dzieli się przez 5. Suma kwadratów 4 kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 10 jeżeli najmniejsza z liczb jest postaci 5k+1, k∊N

5-latek: Milu dziekuje Ci to czyli podobnie tak jak probowalem to robic o 12:03 , z ta roznica ze Ty badalas reszty kwadratowe . A czy mogę mieć jeszcze taka prosbe do Ciebie ? czy możesz się jeszcze pochylić na d tym rozwiązaniem z 12:28 ? czy tam nalezalo tylko rozpatrzyć samo n²+3n+1 bez tej 2 na początku i w miejsce n wstawiać kolejno 5k,5k+1 ,5k+2,5k+3 5k+4 i sprawdzać czy to wyrażenie będzie podzielne przez 5 ?

Mila: Dla 5k,5k+1 ,5k+2,5k+3 nie ma podzielności przez 10 więc nie możesz doprowadzić do postaci: 10*m, gdzie m∊N

5-latek: Dobrze. Zostawie to rozwiązanie w postaci z 19:19 . dziekuje . A spojrzysz jeszcze tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/293405.html i wytłumaczysz ?

Nieznany: a:7=12reszta 7