Wlasnosci liczb 5-latek: Zadanie : Udowodnij ze reszta otrzymama przy dzieleniu liczby pierwszsej p przez 30 jest rowna 1 lub liczbie pierwszsej Sierpinski piszse tak : Kazda liczba naturalna n>1 ma oczywiście conajmniej dwa rozne dzielniki naturalne :1i n Liczba pierwsza jest liczba która poza tymi trywialnymi dzielnikami nie ma innych dzielników liczbe p możemy zapisac jako p=30k+r (30k dlatego z ejest ona podzielna przez 30 . I tutaj w związku z tym zadaniem pojawia się u mnie dwa problemy 1. Z twierdzenia o reszcie mamy ze 0≤r<|d| gdzie d jest dzielnikiem Natomiast we wskazówce do zania mam napisane ze 1≤r≤29 To ≤29 jest dla mnie zrozumiale natomiast nie jest zrozumiale dlaczego 1 a nie 0 2problem to taki skoro liczba ma być podzielna przez 30 to musi być podzielna przez 2 , przez 3 i przez 5 . Dlaczego te liczby nie sa dzielnikami reszty ? Proszse o wyjaśnienie tych problemów .

Marek216: 29 to ostatnia (największa) liczba pierwsza mniejsza od 30

Marek216: Sry. nie o to Ci chodziło.

Benny: Czemu niby ma być podzielna? Masz udowodnić, że gdy dzielisz przez 30 jest jakaś reszta. Wydaje mi się że, gdy reszta będzie równa 0 to liczba będzie podzielna przez 30, to samo tyczy się gdy reszta będzie równa 30.

5-latek: Tak Marku . Ja napisałem ze to jest dla mnie zrozumiale . Chodzi mi bardziej o te dwa problemy

Marek216: Dlatego nie 0 bo musi być reszta, wynika to z polecenia. Gdy r=0 nie będzie reszty która jest liczbą pierwszą lub =1.

Marek216: Rozumiesz ?

5-latek: Cos zaczynam lapac

5-latek: A ten drugi problem ?

Marek216: liczba 2 daje z dzielenia przez 30 resztę 2 , 3 daje resztę 3, 5 daje resztę 5. O to Ci chodziło ?

5-latek: To Marku dostajemy reszty które sa liczbami pierszymi a one sa wyrzucone z rozwiązania

5-latek: Jest tak w rozwiązaniu Jeśli p jest liczba pierwsza to 2 nie jest podzielnikiem r i 3 nie jest podzielnikiem r i 5 nie jest podzielnikiem r Wobec tego r jest jedna z liczb 1,7 11,13,17,19,23,39 które oprócz 1 sa liczbami pierwszymi . Chodzi mi wlasnie o to dlaczego 2 3 i 5 nie sa podzielnikami reszty Jest taki znak (wiec go chyba dobrze odczytuje

Mila: Dzielisz liczbę pierwszą przez 30 to reszta nie może byc równa 0, bo dzieliłbyś jakąś wielokrotność liczby 30 a to już nie byłaby liczba pierwsza .

5-latek: Pierwszy problem zrozumiany A teraz ten drugi jeśli możesz

bezendu: Mila zobacz do mojego tematu z prawdopodobieństwem

Marek216: Oglądałem debatę, z tego rozwiązania wynika że np 3, 2 i 5 to nie są liczby pierwsze które z dzielenia przez 30 dają resztę 1 lub liczbę pierwszą. Z liczbami 32,62,65 już nie ma tego problemu bo te liczby nie są liczbami pierwszymi.

Marek216: a=qd+r zwykle nie ma warunku na q, widocznie autor tego zadania uznał, że q≠0.

5-latek: Myslalem ze zalapalem to no ale znowu 30:11=2 i r8 a to jest liczba zlozona

Janek191: Dzielisz p przez 30 , a nie 30 przez p

5-latek: Czesc Możesz to rozpisać bo już trochę glupieje . ja wiem ze na starość to normalne ale jeszcze nie teraz

Janek191: Np. 31 : 30 = 1, r 1 37 : 30 = 1, r 7 41 : 30 = 1, r 11 43 : 30 = 1, r 13 47 : 30 = 1 , r 17 53 : 30 = 1 , r 23 59 : 30 = 1, r 29 61 : 30 = 2, r 1 itd.

5-latek: 1:30=0 i r1 3:30=0 ir 3 i to jest liczba pierwsza a pisza ze 3 nie jest podzielnikiem reszty to w końcu o co tutaj chodzi ?

Janek191: 1 nie jest liczbą pierwszą

Janek191: Dzielimy pewną liczbę pierwszą p przez 30. Reszta z tego dzielenia jest równa 1 lub jest liczbą pierwszą.

5-latek: Pisalem to przed Twoim postem i już widze jakie napisałem bzdury Chcialem dzielic reszty przez 30 A np. jeśli by było liczba pierwsza podzielna przez 20 to zaczalbym oddzielenie od 23 czyli 23:20=1 i r3 itd. dzięki Janek

vaultboy: Dowód: Przypuśćmy nie wprost, że przy dzieleniu liczby pierwszej przez 30 otrzymamy resztę nie będącą liczbą pierwszą albo 1 (oznaczmy tę resztę przez r) Zauważ, że dzielnikami pierwszymi liczby 30 są 2,3,5 Reszta jest liczbą całkowitą z przedziału <0;29> r jest postaci ab gdzie a,b to liczby całkowite większe od 1 jeśli któraś z liczb 2,3,5 dzieli r to dostajemy sprzeczność, bo p=30k+r i skoro 2,3,5 dzieli r i 2,3,5 dzieli 30 to 2,3,5 dzieli p i p≥30 zatem p nie będzie liczbą pierwszą czyli dostalibyśmy sprzeczność. Dalej możemy założyć, że r nie jest podzielne przez 2,3,5 Ale r ma jakiś rozkład na czynniki pierwsze. No to wnioskujemy, że w tym rozkładzie występują liczby pierwsze ≥7 zatem a,b≥7 ale wtedy ab≥49 natomiast 30>r=ab≥49 sprzeczność Stąd dostajemy tezę.

5-latek: Bardzo dziekuje Ci kolego Może w końcu naucze się tych dowodow nie wprost

5-latek: mam pytanie . czy Ty studiujesz matematykę ?

vaultboy: Tak studiuję matematykę, ale jestem dopiero na pierwszym roku i nie miałem jeszcze teorii liczb

5-latek: to sa zadnka z ezbioru do liceum . Panie w swojej książce do nauki nie podawaly takich przykladow jak tutaj

vaultboy: to zadanie nawet pojawiło się na diamentowym indeksie: http://www.diament.agh.edu.pl/images/zadania/aktualne/matematyka_I_2014_2015.pdf

5-latek: A w tym zbiorze mam go oznaczone jak latwe

Mila: Czy już rozumiesz rozwiązanie tego zadania?

5-latek : Dobry wieczor Milu pozdrawiam Tak już rozumiem . ja caly czas dzieliłem te liczby pierwsze do 29 wlacznie przez 30 i dlatego mi nie wychodzilo . A ja miałem dzielic liczbe pierwsza przez 30 i patrzyć jaka jest reszta z dzielenia

5-latek: Dobry wieczor Milu A masz może jeszcze inny sposób na to zadanie ?

Mila: Podobnie, ale mogę rozszerzyć komentarz.

5-latek: Wiec proszse zebys go napisala . Ja jutro to sobie przepiszse do zeszytu i przeanalizuje bo dzisiaj niedawno wrocilem z pracy i jestem już zmeczony . jeśli moszsesz to proszse Cie abys tez spojrzała na moje pozostale zadanka

Mila: Może być jutro?

vaultboy: No pięknie nie dość, że wiek emerytalny wynosi 67 lat to jeszcze pięciolatki pracują ciężko. Do czego ten kraj zmierza... (pewnie nie pierwszy i nie ostatni)

5-latek: Milu Alez oczywiście ze tak Ja wieczorem będę na forum jak dzisiaj . No widzisz kolego vaultboy a mowia z ew Chinach kaza dzieciom pracować Ale jak widać w Polsce tez .

Mila: Dobranoc

5-latek: Dobranoc Milu Slodkich snow

Mila: p=30k+r, k∊N p− liczba pierwsza r∊{0,1,2,3,....29} 30 dzieli się przez : 2,3,5,6,10,15,30 ponieważ p jest liczbą pierwszą to r może byc równe: 1,7,11,13,13,17,19 Dla p>5 r nie może być podzielne przez żadną z wymienionych poprzednio liczb, bo wtedy p byłaby liczba złożoną. Przykład konkretny: p=30k+5=5*(6k+1)

Benny: Tak samo chyba rozwiązywałem na AGH−u

Mila: Ile brakło do indeksu?

Benny: To w pierwszym etapie było. Mówiłem, że skopałem ten finał. Zorientowałem się później że jeszcze jedno zadanko skopałem. Coś koło 40 tylko miałem...

Mila: No, trudno, zdarza się. I tak dostaniesz się na wymarzone studia, czego życzę. Zasługujesz.

Benny: Jak zdam ten pisemny polski to możliwe. Dziękuje

5-latek: Milu dziekuje Jutro się tym zajme wcześnie rano muszs ewstac i tylko na chwile zagladnalem na forum .