Asymptoty funkcji Archie: Mam kolejne zadanie (sorry, żę takie banały, ale późno zacząłem się uczyć do spr i wy jesteście ostatnią deską ratunku ), a więc: Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f. f(x)=√1+x²+x Wyznaczyłem brak asymptot pionowych, ale mam problem z poziomą. W +niesk wychodzi granica niewłaściwa i się zgadza, lecz w minus niesk powinno wyjść 0, ponieważ w odp jest y=0 w + niesk. Mi wychodzi w +niesk +niesk a w −niesk −niesk, co robię źle? Pomocy!

Qulka: nie można odejmować nieskończoności pomnóż i podziel przez √1+x² − x

ZKS:

	√x2 + 1 + x
limx → −∞		= 0
	x

lim_{x → −∞} √x² + 1 + x = 0

	√x2 + 1 + x
limx → ∞		= 2
	x

lim_{x → ∞} √x² + 1 − x = 0

Przemysław: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=30620 Przykład d)

ZKS: Ten alexx17 coś tam namieszał na końcu przecież

	1
limx → −∞		= −∞.
	1   x(1 + )1/2 − 1   x2

Przemysław: Czemu?

ZKS: Brakuje nawiasu u mnie

	1
limx → −∞		= −∞.
	1   x[(1 + )1/2 − 1]   x2

Powinno być tak

	1		1		1
limx → −∞		= [		] = [		] = 0.
	√x2 + 1 − x		√(−∞)2 + 1 − (−∞)		∞

ZKS: On znowu doprowadził do wyrażenia nieoznaczonego, ale jakimś dziwnym trafem otrzymuje poprawny wynik, gdzie z jego przekształcenia do napisanej na końcu granicy wynik wychodzi −∞.

Przemysław: Szczerze mówiąc to ja nie widzę tego:

	1
limx→−∞		=−∞
	1   x[(1+ 1/2−1]   x2

Możliwe, że tak jest, ale ja tego nie widzę jeszcze w tym kroku, bo przecież to jest jakoś tak:

	1
[		] a to jest nieoznaczone. Inna sprawa, że nie widzę też tego, że to dąży do 0 (z
	−∞*0

tego kroku), więc może faktycznie coś tam jest namieszane

Przemysław: Miało być:

	1
limx→−∞		=−∞
	1   x[(1+ )1/2−1]   x2

ZKS: Nie wiem naprawdę co on zrobił. Miał wyrażenie oznaczone to doprowadził do nieoznaczonego. Zawsze powinno się sprawdzać czy ma się wyrażenie oznaczone czy jeszcze nie.

Przemysław: Faktycznie Przepraszam więc za link do takiego rozwiązania...

ZKS: Tak jest na pewno, że ta granica co teraz napisałeś ma granicę w −∞.

ZKS: Jeżeli chcesz nawet Ci udowodnię, że ta granica wynosi −∞.

ZKS: Miał dobrze ten ostatni fragment tylko wyrzucić i granica wychodzi 0.

Przemysław:

1   (1+ )1/2+1   x2
	=
1   x[1+ −1]   x2

1   (1+ )1/2+1   x2		1
	=((1+		)1/2+1)*x
1   x		x2

No w sumie.

Przemysław: To gdzie jest błąd, skoro miał dobrze i doszedł do innej granicy? W sensie, co szkodzi to wyciągnięcie x−a przed nawias?

ZKS: Kiedy wyciągnął x przed nawias dostał wyrażenie nieoznaczone i teraz, aby obliczyć tą granice trzeba doprowadzić do wyrażenia oznaczonego z którego wyjdzie granica −∞ tak jak to teraz pokazałeś.

	1
limx → −∞ [(1 +		)1/2 + 1] * x = [(√1 + 0 + 1) * (−∞)] = −∞
	x2

Przemysław: Ale to by znaczyło, że z jednego wyrażenia nieoznaczonego mogę uzyskać dwa oznaczone, które dają inne granice. To coś nie tak Bo przecież zamiast wymnażać licznik i mianownik mogłem wziąć x znowu pod nawias i wtedy miałbym granicę 0

ZKS: Miał wyrażenie oznaczone, a kiedy takie mamy należy wtedy policzyć granicę. Jego błąd polegał na tym, że przekształcił na symbol nieoznaczony. Te wyciągnięcie x spowodowało zmianę rozpatrywanej funkcji, ponieważ teraz jej granica jest nieoznaczona.

ZKS: To tak jakbyśmy rozpatrywali już inną funkcję niż wyjściową na tym ten błąd polega.

Przemysław: Czyli, jeżeli wyrażenie jest oznaczone to już nie mam prawa go przekształcać, bo uzyskam zły wynik?

ZKS: Jeżeli możesz policzyć granicę to czemu masz przekształcać na wyrażenie nieoznaczone? To trochę bezsensu.

Przemysław: No niby tak, ale przecież kto broni coś inaczej zapisać, skoro robię to zgodnie z matematyką A tu by wychodziło, że jednak nie można.

Draghan: Hmmm... Mi się też nieraz zdarzało "gmatwać" rozwiązanie granicy, jeśli jednak po drodze nie zrobiłem jakiegoś błędu w przekształceniach, wynik zawsze wychodził poprawny...

Przemysław: A w tym przypadku błędu nie widzę, a wynik jest inny... hmm

Przemysław: Mam na myśli błędu w przekształceniu. Bo może samo przekształcenie już jest błędem.

ZKS: Napisałem, że nie robi zgodnie z matematyką, ponieważ przekształcił tak tą funkcję, że to już nie jest ta sama funkcja co wyjściowa, stąd inna granica

1
	= √x2 + 1 + x
√x2 + 1 − x

dla x ∊ R

1
	= √x2 + 1 + x
1   x[(1 + )1/2 − 1   x2

tylko dla x > 0.

ZKS: Zabrakło mi domknięcia nawiasu za 1.

Przemysław:

1
	=
1   x[(1+ )1/2−1   x2

1
	=
(x2+1)1/2−x

[(x2+1)1/2−x]*[(x2+1)1/2+x]
	=
(x2+1)1/2−x

(x²+1)^1/2+x I nie wiem, gdzie musiałem zakładać, że x>0

Przemysław: Na pewno x≠0 co już jest ograniczeniem dziedziny.

Przemysław: Można uznać że tak trzeba robić i już, ale chodzi mi o to, że jak to jest, że funkcję mogę przekształcać, ale tylko do momentu gdy już mam postać oznaczoną. Przecież mnożenie licznika i mianownika przez to samo też wprowadza pewne zmiany (bo skoro pojawia się mianownik zależny od x−a) − czyli to też staje się wtedy inną funkcją.

ZKS: Nie chodzi o to gdzie musiałeś zakładać x > 0 tylko napisałem, że funkcja postaci

	1
√x2 + 1 + x jest równoważna z funkcją		tylko dla x > 0
	1   x[(1 + )1/2 − 1]   x2

	1
natomiast funkcja		jest równoważna dla x ∊ R.
	√x2 + 1 − x

Przemysław: Tylko skąd wynika to ograniczenie równoważności, skoro doszedłem z jednej postaci do drugiej nie zakładając x>0. Ty masz zapewne rację, ja po prostu tego nie wiem i tak pytam

ZKS: Można to łatwo pokazać wstawiając w miejsce odciętej (−1).

ZKS: Już śpieszę z wyjaśnieniem

	1
√x2 + 1 − x = |x|(1 +		)1/2 − x.
	x2

Przemysław: Prawda. Czyli to założenie tam występuje, tylko go nie zauważyłem? Bo w przeciwnym wypadku to nie widzę w tym sensu... No i jeszcze raz, jak to jest, że przekształcać można (czyli w sumie zmieniać na inne funkcje) ale tylko do momentu, gdy mamy wyrażenie oznaczone?

Przemysław: A!

Przemysław: No tak

Przemysław: Dziękuję bardzo

ZKS: Teraz możemy policzyć granicę bez obaw o błąd |−∞| * √1 + 0 − (−∞) = ∞.

Przemysław: Matematyka uratowana

ZKS: Trzeba uważać na przekształcenia, czy są one równoważne.

ZKS: Zawsze będzie Królową Nauk.

Przemysław: Jeszcze raz dziękuję bardzo Jeżeli masz jeszcze trochę czasu i chęci, to byłbym wdzięczny za jakąś podpowiedź tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/293275.html