Pole przecięcia walców Przemysław: Dwa walce o promieniu podstawy równym 1 przecinają się pod kątem prostym. Obliczyć pole powierzchni ich przecięcia. Z tego co już wiem, można uznać na przykłąd że jeden jest wzdłuż osi Z, drugi wzdłuż X. Obszary, po których trzeba całkować to takie, gdzie:

⎧	1=x2+y2
⎩	1≥x2+z2

i

⎧	1≤=x2+y2
⎩	1=x2+z2

ale z symetrii wynika, że oba te pola (po obu obszarach) są równe, więc można policzyć jedno i pomnożyć przez 2. Rozumiem, że można zmienić zmienne na walcowe.

⎧	x=cosα
⎨	y=sinα
⎩	z=z

Czy teraz jakoś tak: 1≥cos²α+z²

	π
α∊[0;		] z∊[0;1]
	2

Tylko moje pytanie − co robić dalej?

Przemysław: No proszę Was, nie bądźcie tacy

Przemysław:

Przemysław:

Przemysław:

ZKS: x = rcos(φ) y = rsin(φ) z = z W współrzędnych walcowych mamy trzy zmienne (r ; φ ; z).

Przemysław: No tak, ja głupi odrzuciłem r, bo promień równy 1. Ale przecież przy współrzędnych to inna rzecz.

Przemysław: Czyli ten warunek:

⎧	1=r2(sin2α+cos2α)=r2
⎩	1≥r2(sin2α)+z2

Ale wtedy z tego pierwszego r=1, czyli zostaje: 1≥sin²α+z² i dostaje te same przedziały zmienności?

ZKS: Poczekaj może Godzio spojrzy na to, bo możliwe, że jeszcze jest na forum.

ZKS: Nie wiem czy dobrze myślę sin²(φ) + z² ≤ 1 z² ≤ 1 − sin²(φ) z² ≤ cos²(φ) −cos(φ) ≤ z ≤ cos(φ).

Przemysław: Coś w tym jest. Tylko jak wtedy by ten cały obszar był opisany? Bo r jest stale równe 1, z zależy od φ, a φ jakie jest?

ZKS: Nie spojrzałem źle zapisałeś cos²(φ) + z² ≤ 1 −sin(φ) ≤ z ≤ sin(φ).

Przemysław: Tak, przepraszam Czyli mamy:

	π
z=0⇒ φ=
	2

z=1⋁z=−1⇒ φ=0

	π
I wg mnie φ∊[0,		], z∊[−1,1], czy tak?
	2

ZKS: Dawno już nie bawiłem się całkami podwójnymi i potrójnymi. Nie wiem, czy kąt nie będzie taki 0 ≤ φ ≤ 2π.

Przemysław: Jasne, bo przecież tam jest ²

ZKS: Przepraszam nie widziałem Twojego wpisu. To spróbuj policzyć tak jak napisałeś.

Przemysław: I teraz całka podwójna jak rozumiem? ∫₀^2π ∫₋₁¹ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dzdφ A w miejsce kresek pierwiastek z sumy kwadratów wyznaczników wykrojonych z tej macierzy Jacoby−ego, czy jakoś tak? Tylko mnie zastanawia, od czego zależy ta kolejność. Czy może dφdz?

ZKS: Najpierw po z później po φ i na koniec po r. Jakobian w współrzędnych walcowych J = r.

Przemysław: No niby tak, ale wiem, że jest wzór na pole powierzchnii, gdzie jest tylko całka podwójna i coś w stylu: P{J₁²+J₂²+J₃²} Gdzie te J_n to wyznaczniki jakie można wykroić z macierzy zdaje się 2x3 czy 3x2

Przemysław: √J₁²+J₂²+J₃²

ZKS: Masz odpowiedź do tego zadania?

Przemysław: 16

Przemysław: Dobra, przepraszam, wiem że sam Cię prosiłem o pomoc, ale już muszę się położyć bo rano nie podniosę się Dziękuję bardzo za pomoc w każdym razie Przeliczę to jeszcze jutro zgodnie z tym co myślę i zobaczę czy wyjdzie to co trzeba. Będę jeszcze jutro zaglądał, także jakby co to możesz pisać w dowolnym czasie i ja przeczytam jak będę.

ZKS: Okej. Może ktoś pomoże, bo ja nie mogę sobie zobrazować tego i też już śpiący jestem. Dobranoc.

Przemysław: Jak się weźmie ∫_−π/2^π/2∫_−sinφ^sinφ√J₁²+J₂²+J₃²dzdφ, gdzie te J_i są wyznacznikami macierzy 2x2 wyciętych z macierzy 2x3 utworzonej przez wyrzucenie kolumny 1. lub 3. z:

∂rcosφ		∂rcosφ		∂rcosφ
					cosφ −rsinφ 0
∂r		∂φ		∂z

∂rsinφ		∂rsinφ		∂rsinφ
					= sinφ rcosφ 0
∂r		∂φ		∂z

∂z		∂z		∂z
					0 0 1
∂r		∂φ		∂z

i za r da 1, to wyjdzie 8 i to jest chyba właściwy wynik − zdaje się, że wcześniej źle napisałem. Tutaj to nie będzie miało znaczenia, ale nie mam jeszcze pewności, którą kolumnę wyrzucić. Ja bym był za 3., bo z tego −sinφ≤z≤sinφ można by wnioskować, że z jest uzależnione od r i φ, z tym że od r zależy tak, że nie zależy. Zastanawia mnie jeszcze też od czego zależy kolejność tych całek, tzn. skąd wiedzieć czy ma być: ∫_−π/2^π/2∫_−sinφ^sinφ√J₁²+J₂²+J₃²dzdφ, czy ∫_−sinφ^sinφ√J₁²+J₂²+J₃²∫_−π/2^π/2dφdz