Równanie Pella dla d=2
Przemysław: Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania
292133 wykaż,
że liczby an, b
n spełniają równanie Pella dla d = 2, tzn.
a
2n −2b
2n = 1. Wywnioskuj stąd, że któraś z liczb a
n −1, a
n + 1
jest dzielnikiem liczby b
2n.
Próbowałem jakoś tak:
x
n+2=6x
n+1−x
n
x
n=a
n+b
n√2
x
n+2=6(a
n+1+b
n+1√2)−a
n−b
n√2
x
n+2=6a
n+1−a
n+6b
n+1√2−b
n√2
x
1=3−2
√2
a
1=3
b
1=2
x
2=17+12
√2
a
2=17
b
2=12
x
3=99+70
√2
a
3=99
b
3=70
Równanie, będę próbował indukcyjnie:
a
2n −2b
2n = 1
n=1
3
2−2*2
2=1
9−8=1
1=1
n=2
17
2−2*12
2=1
289−288=1
L=P
n=3
99
2−2*70
2=1
9801−9801=1
L=P
Z:
a
2n+1 −2b
2n+1 = 1
a
2n+2 −2b
2n+2 = 1
T:
a
2n+3 −2b
2n+3 = 1
Mamy:
a
n+2=6a
n+1−a
n
b
n+2=6b
n+1−b
n
więc:
(6a
n+2−a
n+1)
2−2*(6b
n+2−b
n+1)
2=1
36a
n+22 − 2a
n+1a
n+2 + a
n+12−2(36b
n+22 − 2b
n+2b
n+1 + b
n+12)=1
36a
n+22 − 2a
n+1a
n+2 + a
n+12−72b
n+22 + 4b
n+2b
n+1− 2b
n+12=1
36(a
n+22−2b
n+22)+a
n+12−b
n+12− 2a
n+1a
n+2+ 4b
n+2b
n+1=1
36+1− 2a
n+1a
n+2+ 4b
n+2b
n+1=1
− 2a
n+1a
n+2+ 4b
n+2b
n+1=−36
− a
n+1a
n+2+ 2b
n+2b
n+1=−18
I coś takiego bym musiał udowodnić.
Zresztą nie wiem, czy do tej pory dobrze jest...
Jeżeli ktoś przez to przebrnął, to dziękuję i proszę o pomoc z zadankiem
