Dowód Przemysław: Udowodnij, że dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n, liczbę (3+ 2√2)ⁿ można przedstawić w postaci a_n +b_n√2, gdzie liczby a_n i b_n są całkowite i dodatnie. Wywnioskuj stąd, że (3−2√2)ⁿ = a_n −b_n√2 dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n. Rozpisywać jakoś z wzoru dwumianowego Newtona? Proszę o pomoc z tym zadankiem

Vax: Tak, wynika to bezpośrednio z dwumianu Newtona.

Przemysław:

	n 0		n 1		n n−1		n n
(3+2√2)n=		3n+		3n−1(2√2)+...+		3n1(2√2)n−1+		(2√2)n

Wszystkie symbole te Newtona są dodatnie i całkowite, tam, gdzie 2√2 jest do potęgi parzystej jest ono całkowite i dodatnie, w innych wypadkach nie jest całkowite, więc można to zapisać w zadanej postaci. Ten minus niewiele zmieni, bo wtedy mamy (3+(−2√2))ⁿ i wszędzie, gdzie były nieparzyste potęgi tego 2√2 wyskoczy minus, a poza tym nic się nie zmieni. Jakoś tak?

Vax: Jakoś tak

Przemysław: Dzięki

Przemysław: A jakoś ładniej można? Bez tego wzoru?

Vax: Można indukcyjnie.

Przemysław: n=1 (3+2√2)²=3+2√2 a₁=3, b₁=2 Z: (3+2√2)ⁿ=a_n+b_n√2 T: (3+2√2)ⁿ⁺¹=(3+2√2)*(3+2√2)ⁿ=(3+2√2)*(a_n+b_n√2)= =3a_n+a_n2√2+3*b_n√2+2√2*b_n√2= =3a_n+a_n2√2+3*b_n√2+4b_n= =3a_n+4b_n+(2a_n+3b_n)√2 a_n+1=3a_n+4b_n∊C b_n+1=2a_n+3b_n∊C Coś takiego?

5-latek: Vax może i mnie pomożesz https://matematykaszkolna.pl/forum/292138.html

Przemysław: Jeszcze jeden sposób − w oparciu o źródło tego zadania, gdzie użyto tego sposobu w podobnym przypadku. x_n:=(3+2√2)ⁿ x₁=3+2√2 x₂=17+12√2 x₃=99+70√2 x₂=18+12√2−1=6(3+2√2)−1=6x₁−1/*x_n (3+2√2)ⁿ*(3+2√2)²=6*(3+2√2)ⁿ*(3+2√2)¹−(3+2√2)¹ (3+2√2)ⁿ⁺²=6*(3+2√2)ⁿ⁺¹−(3+2√2)ⁿ x_n+2=6x_n+1−x_n I teraz nie umiem tego ładnie zakończyć, ale x₂ i x₁ jest postulowanej postaci więc x₃ też takie będzie. I teraz trzeba by jakoś zrobić z tego indukcyjny dowód dla x_n.