brak pierwiastków wymiernych w wielomianie. YushokU: Witam, Mam kłopot z zadaniem. Uzasadnij, że wielomian W(x)=x⁵+4x⁴+3x⁴+2x²+x+3¹²⁰=0 nie ma pierwiastków wymiernych. Mam rozwiązanie, ale go nie rozumiem. Zadanie pochodzi z arkusza 8 zadania.info MatR. Dzięki z góry!

Kejt: https://matematykaszkolna.pl/strona/121.html mam nadzieję, że to wystarczy jak nie to pytaj

Kacper: Sprawdzać po kolei wszystkie ponad 200 dzielników, to mi się nie chce

Kacper: Trzeba sposobem

Kejt: oj tam oj tam nie myślę dzisiaj :<

b.: > Sprawdzać po kolei wszystkie ponad 200 dzielników, to mi się nie chce Błąd, bo sprawdzając po kolei można często coś zauważyć. A wskazówka od Kejt jest jak najbardziej na miejscu. Ale jak się Tobie nie chce, to czemu innym miałoby się chcieć

Kejt: dzięki @b, przywróciłeś mi trochę wiary w siebie

b.:

Kacper: Mi się nie chce, bo wiem jak rozwiązać bez sprawdzania

YushokU: No dobra. Nie wprost: Wielomian ma pierwiastki wymierne. Widzę, że wielomian jest stopnia nieparzystego więc iloczyn pierwiastków to −3¹²⁰ Więc pierwiastek wymierny jest w postaci −3ⁿ W(−3ⁿ)=0 −3⁵ⁿ+4*3⁴ⁿ−3*3³ⁿ+2*3²ⁿ−3ⁿ+3¹²⁰=0 A co dalej?

Benny: Hmm... a próbowałeś na pochodnych? Sprawdzić monotoniczność, policzyć wartości dla max i min. Bodajże przez twierdzenie Darboux można to wykazać, ale nie jestem pewny, bo nie liczyłem

PW: Przykład dla wielomianu stopnia trzeciego: W(x) = (x−7)(x²−x+5) = x³ − 8x² + 12x − 35 − dlaczego twierdzisz, że iloczyn pierwiastków tego wielomianu jest równy 35? Słowo daję − pierwiastek jest tylko jeden, równy 7. W Twoim zadaniu jedno jest pewne − co najmniej jeden pierwiastek na pewno istnieje (bo wielomian jest nieparzystego stopnia) i pierwiastek ten jest liczbą ujemną (dla x nieujemnych wartość wielomianu jest większa niż 3¹²⁰). Teraz można myśleć "nie wprost": co by było, gdyby ten pierwiastek był liczbą wymierną?

YushokU: @Benny No właśnie pochodne to był pierwszy pomysł, ale nie mogę jej rozłożyć na nic ładnego. @PW Możesz jakoś jeszcze naprowadzić?

YushokU: Dobra, zrobiłem. @PW − dziękuję, już wiem o co ci chodziło Całkiem podobnie do rozwiązania oficjalnego z zadania.info, ale teraz rozumiem. Tamto równanie co otrzymałem, to przenoszę wszystko tak aby było bez znaków ujemnych 4*3⁴ⁿ+2*3²ⁿ+3¹²⁰=3⁵ⁿ+3³ⁿ⁺¹+3ⁿ Teraz dzielę obustronnie przez 3ⁿ 4*3³ⁿ+2*3ⁿ+3¹²⁰⁻ⁿ=3⁴ⁿ+3²ⁿ⁺¹+1 Widzę, że lewa strona jest w postaci L=3K a prawa P=3T+1, co oznacza, że −3ⁿ nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, czyli równanie nie ma pierwiastków wymiernych.

PW: Pięknie