Kolokwium z majzy Hajtowy: Witajcie Po dłuższej nieobecności na forum, będę miał prośbę do wielu z Was 28 kwietnia (tj. wtorek) mam kolokwium z matematyki z macierzy oraz całek... W zbiorze zadań mam 10 stron zadań z macierzami oraz 7 stron z całkami. Niestety na 1 rzut oka sam nie dam rady z tym i chciałbym się po weekendzie zabrać za to wszystko, tak więc będę miał jakieś 8 dni na przerobienie wszystkich zadań dokładnie... Nie ukrywam iż macierze i całki to dla mnie czarna magia także proszę potraktować poważnie prośbę studenta i pomóc w potrzebie Wiem, że matura tuż tuż i maturzystów od groma ale studentów nie odstawiajcie na boczny tor Jeśli byłby ktoś chętny to odświeżę ten temat w poniedziałek i zabiorę się ostro do pracy. Z góry dziękuję wszystkim, którzy będą mi w stanie pomóc

Saizou: ja moge pomoc z calkami, bo tez mam niedlugo kolo z tego zagadnienia, glownie calki nieoznaczone i calki Riemanna, wiec sam tez potrenuje xd ale jak juz to w ten weekend

bezendu: Ja też całki chętnie przygarnę bo muszę powtórzyć a z macierzami jest za dużo zabawy

Hajtowy: No to zaczynamy powolutku Od razu mówię, że całki to czarna magia jak dla mnie Mam 117 zadań (podpunktów) − odpowiedzi posiadam. Proszę o wyrozumiałość bo student gdzieś musi się nauczyć, a gdzie jak nie na forum? Zaczynamy... zad 1, obliczyć: a) ∫(2x³−x²+x−π)dx

kyrtap: ∫(2x³ − x² + x − π)dx = ∫2x³dx − ∫x² dx + ∫xdx − ∫πdx

Hajtowy: I teraz mam sobie znaleźć jaka liczba daje pochodną 2x³, x² i x ?

kyrtap: najlepiej nauczyć się podstawowych własności całek i wzorów

kyrtap: https://matematykaszkolna.pl/strona/2110.html

Hajtowy: Tak to ma wyglądac?

1		1		1
	x4 −		x3 −		x2 − πdx + C?
4		3		2

kyrtap:

	1		1		1
2*		x4 −		x3 +		x2 − πx + C
	4		3		2

Hajtowy:

	1		1		1
No to ładnie wychodzi :		x4−		x3+		x2−πx+C
	2		3		2

kyrtap:

Hajtowy: Lecim dalej

	2		2		1		2		1
b) ∫(x5−		x4+1)dx = ∫x5dx − ∫		x4dx + ∫1dx =		x6 −		*		*x5 + C
	3		3		6		3		5

=

	1		2
=		x6 −		x5 + C
	6		15

Tak?

kyrtap: a gdzie zgubiłeś ∫1dx?

Hajtowy: No własnie nie wiem ile to jest i myslałem, że to jest 0

kyrtap: ∫dx = x ∫2dx = 2x ∫100dx = 100x itd.....

Hajtowy: Wszystko jasne

	1		1
c) ∫(		−x+√3)dx = ln|x| −		x2−√3x + C ?
	x		2

kyrtap: zamiast −√3x to +{3}x

Hajtowy:

	1		2		7
d) ∫(		−		+		)dx = ...
	x		x2		x7

	2		7
Jak mam rozbić		oraz		bo nie wiem
	x2		x7

kyrtap:

	2		7		1
∫(1−		+		) dx = ∫		− 2∫x−2dx + 7∫x−7dx
	x2		x7		x

kyrtap:

	1
tam całka ∫		dx
	x

Hajtowy:

	1		1
e) ∫(sinx −		)dx = ∫sinxdx − ∫		dx = −cosx − ....
	√1−x2		√1−x2

	1
∫		dx
	√1−x2

Tutaj mam użyć wzoru:

	dx		x
∫		=arcsin		+C ?
	√a2−x2		a

Saizou : tak

Hajtowy: A więc będzie ... = −cosx − arcsinx + C ?

	x
No bo tam wychodzi arcsin		+ C
	1

Saizou :

	1
∫		=arcsinx warto pamiętać xd
	√1−x2

Hajtowy: Lecim dalej

	1
f) ∫ (		−cosx)dx = tgx − sinx + C ?
	cos2x

Saizou : yep xd

Hajtowy:

	1
g) ∫ (3√x2 −		+ √x) dx
	√x

	1		1		1
Wyszło mi tu z tego :		x5/3 −		+
	5   3		2x3/2		2√x

Cuda XD

Saizou :

	1
Pokaż jak obliczyłeś całkę ∫		dx
	√x

Hajtowy:

	1
Wklepałem w Wolframa bo nie wiem jak to ruszyć i wyszlo
	2x3/2

Saizou : całki typu xⁿ dla n≠−1 obliczamy tak

	1		1
∫xn dx=		x1+n, zatem dla funkcji podcałkowej		=x−1/2 mamy
	1+n		√x

	1		1		1
∫x−1/2dx=		x1+(−1/2)=		x1/2=		√x=2√x
	1   1+(− )   2		1   2		1   2

Hajtowy:

	x4−3x2+2x−5
h) ∫		dx
	3x3

Jak takie cudo ruszyć? Nie widzę wzoru na dzielenie xd

Saizou :

x4−3x2−2x−5		1		1		2		5
	=		x−		+		−
3x3		3		x		3x2		3x3

i skorzystaj z tego co napisałem wyżej oraz z tego że

	1
∫		dx=ln|x|+C
	x

Hajtowy: Wyszlo mi tak ...

	x2		2/3		5/3
=		− ln|x| +		x3 −		x4 + C
	6		3		4

Saizou :

	2		2		2		1		2		2
∫		x−2dx=		∫x−2dx=		*		x1−2=		x−1=
	3		3		3		1−2		3		3x

	5
pokaż jak obliczysz ∫		dx
	3x3

Hajtowy:

5		5		1		5
	∫x3 =		*		x4 =		x4
3		3		4		12

Teraz inaczej wyszło

Saizou : a dlaczego liczysz całkę z x³ ?

Hajtowy: ∫af(x)dx = a∫f(x)dx taką własność mam podaną więc tak liczę

Saizou :

	5		1
no ok ale masz policzyć całkę z		*
	3		x3

Hajtowy: No to ja już nie wiem

Saizou :

	5		1
∫		*		dx= wyciągamy stałą przed znak całki
	3		x3

5		1		1
	∫		dx= zamieniamy		=x−3
3		x3		x3

5		1
	∫x−3dx= stosujemy wzór na ∫xn=		x1+n
3		1+n

5		1
	*		x1−3= porządkujemy
3		1−3

5		1
	*		x−2=
3		−2

	5
−
	6x2

Hajtowy: Saizou dzięki Ci wielkie Bez przykładów to ja się tego nie nauczę ale muszę walczyć!

Saizou :

	5
to do poćwiczenia, oblicz całkę ∫		dx
	7x6

Hajtowy:

	5		1		5		1		5
∫		*		dx =		∫		dx =		∫x−6dx =
	7		x6		7		x6		7

	5		1		1
=		*		x−5=−		x−5
	7		−5		7

Saizou : no i ok

Hajtowy:

	x+3√x		x		x1/3
i) ∫		= ∫		dx + ∫		dx = ∫x1/2 + ∫x−1/6 =
	√x		x1/2		x1/2

	1		1
=		x1/2 +		x5/6 + C
	1,5		5/6

Saizou : popraw całkę z ∫x^1/2dx

Tana: zamiast x^1/2 to x^3/2

Hajtowy:

	1
tak tak, tam ma być		x3/2
	3/2

Czyli jest ok?

Saizou : tak

Hajtowy:

	4√x − 25√x3+43√x
j) ∫		dx = ∫x−9/4dx − ∫2−19/10dx + ∫4−13/6 =
	√x5

	1		1		1
=		x−5/4 −		x−9/10 +		x−7/6
	−5/4		−9/10		−7/6

I jak?

Saizou : na samym poczatku już masz błąd

1		1		5−4		1
	−		=		=
4		5		20		20

Hajtowy: Ale gdzie bo nie widze

Saizou : przepraszam widziałem w mianowniku ⁵√x ale pogubiłeś stałe 2 i 4

Tana: Tamto jest dobrze, natomiast zle jest drugi wyraz bedzie 3/5−1/5

Tana: aa fakt dobrze

Hajtowy: To co jest źle?

Saizou :

	25√x3		1
bo liczysz ∫		=2∫x−19/10=2*		x−9/10
	√5		−9/10

zapomniałes o 2 i tak samo w ostatnim o 4

Hajtowy: Okej, poprawiłem sobie Teraz przez podstawianie jedziemy Zad. 2 Stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie obliczyć: a) ∫ (x−5)¹⁰dx

Saizou : Podstawmy za x−5=t liczbą pochodne otrzymamy dx=dt, zatem nasza całka będzie wyglądać tak ∫(x−5)¹⁰dx= wstawiamy (x−5)=t oraz dx=dt ∫t¹⁰dt= a to ze wzoru na ∫xⁿ dx

1
	t11= wracamy z podstawieniem (x−5)=t
11

1
	(x−5)11+C
11

Hajtowy:

	1
b) ∫		dx =
	(3−5x)4

PODSTAWIENIE || 3−5x = t || || dx = dt ||

	1		1
= ∫t−4dt = −		t−3 = =−		(3−5x)−3+C
	3		3

bezendu: t=−5x+3 dt=−5dx

	dt
−		=dx
	5

	dx		1		dt		1		1		1
∫		=−		∫		=−		∫t−4dt=−		*(−		t−3+C)
	(−5x+3)4		5		t4		5		5		3

	1		1
=		t−3+C=		(−5x+3)−3+C
	15		15

Hajtowy:

	dt
LOL coś Ty tu zrobił Skąd Ci się wzięło, że dx=−		?
	5

52: (−5x)'=−5

bezendu: Pochodne do powtórki, jak bez sprawnego liczenia chcesz robić całeczki ?

Hajtowy: Spokojnie dam radę Mogę wolno liczyć ale w końcu policzę xd

bezendu: To są proste pochodne i wynik powinieneś podawać z automatu Ale rób co chcesz

Hajtowy: c) ∫cos(−4x)dx = −4x=t dx=dt −4dx=dt dx = −1/4 dt = ∫cos(−1/4) dt ?

bezendu: c) ∫cos(−4x)dx t=−4x dt=−4dx / (−4)

	dt
−		=dx
	4

Związek dx zastępujesz dt

	1		1		1
−		∫cos(t)dt=−		sin(t)+C=−		sin(−4x)+C
	4		4		4

Hajtowy: d) ∫√(x−4)dx = x=t+4 dx=dt+4 ?

J: x − 4 = t , dx = dt

Saizou : a ile to pochodna z t+4 względem t ?

Hajtowy: Pochodna z 4 to 0

bezendu: Nie.Poćwicz Ty jednak te pochodne, bo to jest katastrofa na chwilę obecną Bez pochodnych nie zrobisz całek przez podstawienie i nie tylko... Wracaj do pochodnych t=x−4 t'=(x−4)'=1 (C)'=0 ∫√x−4dx=∫t^1/2dt t=x−4 dt=dx

Hajtowy:

	1
... =		(x−4)3/2 ?
	3/2

J: tak

bezendu:

	2(x−4)3/2
=		+C
	3

bezendu: @J a gdzie stała całkowanie ?

J: MYŚLAŁEM,ŻE STAŁĄ OZNACZYŁ PYTAJNIKIEM I ZAPOMNIAŁ PLUSA

Hajtowy:

	1		1
e) ∫ 3√(2x+π)2 dx = PO PODSTAWIENIU =		∫ 3√t2dt =		∫ t2/3 dt = ... ?
	2		2

2x+π=t 2dx=dt

	dt
dx=
	2

J:

	3
=		t3/5 + C
	10

Hajtowy:

	1		3
A skąd z		zrobiłeś		a z 2/3 zrobiłeś 3/5 ? XD
	2		10

J: pwinno być: t^5/3

	1
∫ xn =		*xn+1 + C ... policz
	n+1

bezendu: Dziś czepiam się wszystkiego Przepraszam, ale

	1
∫xndx=		*xn+1+C n≠−1
	n+1

Hajtowy: Omg to takie proste a ja sie zastanawiam skąd Ty to brałeś

J: nie ma problemu ..też jestem za precyzją zapisu

bezendu: @J

J: na zdrowie

Hajtowy: Za moje zdrowie pijecie? To dobrze, przyda się xD f) ∫ x √1−x² dx = ... jakiś pomysł?

Przemysław: 1−x²=t?

Hajtowy: A co z tym "x" przed pierwiastkiem później zrobię?

Przemysław: Po podstawieniu zniknie chyba?

bezendu: Elementarne całki... t=−x²+1 dt=−2xdx / (−2)

	dt
−		=xdx
	2

	1
−		∫t1/2dt =......
	2

J: 1 − x² = t , −2xdx = dt ... i po problemie

Hajtowy: Boski Alvaro czyt. bezendu XD

Przemysław: Przepraszam, koledzy że się znowu bezwstydnie zareklamuję, ale może macie jakiś pomysł https://matematykaszkolna.pl/forum/290908.html

bezendu: Ja mam pomysł, ale do bani

Przemysław:

Hajtowy:

	1
= −		(1−x2)3/2 ?
	3

J: + C

Hajtowy: Przemysław sio mi stąd bo dostaniesz patykiem po xd

Hajtowy: Lecim dalej

	x
g) ∫		dx = ... ?
	3x2−4

Mogę skorzystać ze wzoru:

	dx		1		x−a
∫		=		ln |		| + C ?
	x2−a2		2a		x+a

bezendu:

	(−x2+1)3/2
−		+C
	3

	1		dx
1 w liczniku mnie odrzuca, tak samo jak zapis ∫		dx ładniej wygląda ∫		ale
	x2+2		x2+2

to tylko moje takie przemyślenia.

J:

	1		2x		1
=		∫		dx ... i licznik jest pochodną mianownika ... =		lnIx2 −4I + C
	2		x2 − 4		2

bezendu: W liczniku masz zmienną x więc nie możesz. Dwa przecież to ładnie się uprości podstawieniem w mianowniku wielomian 2 stopnia, pochodna obniży go do 1 stopnia, w liczniku to samo dostaniesz więc podstawienie. Dobra uciekam, niech J Cię uczy.

J:

	1		6x
aj... =		∫		dx = ...
	6		3x2−4

Hajtowy: bezendu ale J tu ze mną nerwicy dostanie i ucieknie

bezendu: Ja już dostałem, dlatego uciekam

J:

	1
i teraz =		lnI3x2 − 4I + C
	6

Hajtowy: J ale spokojnie nie tak szybko

	1		6x
Skąd wziąłeś postać		∫		?
	6		3x2−4

Przemysław: Może spróbuj na ułamki proste rozłożyć

Braun: Widzę, że i J dostał nerwicy

Przemysław: Faktycznie starczy przekształcić i wychodzi Wypaliłem z tymi ułamkami... i jeszcze zły wynik miałem...

Hajtowy: Nikt ze mną wytrzymać nie może bo matmy pojąć szybko nie umiem

Przemysław:

	1
@Hajtowy pomnóż ułamek razy 6 i podziel przez 6,		wyciągnij przed całkę. Potem masz
	6

pocodną mianownika w liczniku więc logarytm z modułu mianownika

Przemysław: pochodną*

Przemysław: Jak nie rozumiesz to pisz

Hajtowy: Omg takie kombinacje ... po co komu całki w życiu Mniej więcej rozumiem ale trochę to skomplikowane h) ∫x²√x³+2 = ... PODSTAWIENIE: x³+2=t 3x²dx=dt

	dt
x2dx=
	3

Coś jeszcze? xd

Przemysław: To napisz jeszcze wynik

Hajtowy:

	1
=		∫ 2t1/2 dt ?
	3

Przemysław: Skąd te 2?

Przemysław:

	1
Chodzi mi o to, czemu nie jest		∫t1/2dt
	3

Hajtowy: No bo nie wiem co z tym x² zrobić co jest przed pierwiastkiem

Przemysław: Zniknęło, bo skądś musiałeś wziąć dt Tak działa to podstawienie, które wykonujesz

Przemysław:

	dt
Masz napisane		=x2dx, a więc bezpośrednio jedno pojawia się kosztem drugiego.
	3

	dt
Zamiast pisać x2dx piszesz
	3

Przemysław: http://www.analizamatematyczna.enhost.pl/CalkaNieozn/clk3.htm

Przemysław: Jak nie rozumiesz to pytaj

Hajtowy:

	1
Czyli zostawiam		∫t1/2dt ?
	3

Przemysław:

	dt
Tak, na tym to polega, że podstawiasz zamiast x2dx		czyli siłą rzeczy to x2dx znika.
	3

Przemysław: Więc jakie rozwiązanie ostatecznie?

Hajtowy:

	2
=		(x3+2)3/2 ?
	9

Przemysław: Tak, o ile już sam się nie zamieszałem to tak

Przemysław: Dawaj następne

Hajtowy:

	2x3
i) ∫		dx = ...
	x4+5

Podobny do przykładu G ale jakieś to dziwne jest

Przemysław: Podstaw x⁴+5=t

Przemysław: I pamiętaj, że wszystkie stałe można wyciągnąć przed znak całki: np. ∫a*F(x)dx=a*∫F(x)dx

J: U(1/2) przed calke

Przemysław: Na to samo wyjdzie

Hajtowy:

1
	∫ t dt ?
4

Hajtowy: x⁴+5 = t 4x³dx=dt

	dt
x3dx =
	4

Przemysław:

1		dt
	∫
4		t

Hajtowy: No i stoję w miejscu... Nie wiem co teraz

Hajtowy: zw obiad mam. wrócę za chwilkę

Przemysław:

	dt
Jak masz całkę postaci ∫		to wynik jest ln|t| +C, taka własność ogólna. To ja też się
	t

zmywam. Możliwe, że jeszcze potem też będę Tu masz wzory na podstawowe całki nieoznaczone: http://www.analizamatematyczna.enhost.pl/CalkaNieozn/clk.htm

Saizou :

	2x3
∫		dx
	x4+5

zauważmy, że w liczniku mamy zbliżone wyrażenie do pochodnej mianownika, zatem podstawmy x⁴+5=t różniczkując 4x³ dx=dt

	1
2x3 dx=		dt
	2

	1		1
zatem otrzymamy ∫		*		dt teraz możemy wyłączyć stałe przed znak całki
	t		2

1		1		1
	∫		dt no i teraz korzystamy ze wzoru ∫		da= ln|a|
2		t		a

1
	ln|t| i wracamy z podstawienie
2

1
	ln|x4+5| no i jeszcze możemy opuścić wartość bezwzględną bo x4+5>0 i dodajemy magiczne
2

C, zatem

1
	ln(x4+5)+C
2

Hajtowy: Saizou ciekawe rozwiązanie ale poprawne

Przemysław:

	1		1
Oczywiście tam co napisałem w 17:17 powinno być		a nie		, przepraszam
	2		4