fgs pinokio: Korzystając z indukcji matematycznej udowodnić: ∀n∊N n < 2ⁿ 1. n = 1 1 < 2 2. n = k, k ≥ n k < 2^k 3. n = k + 1 i nie wiem jak tutaj to rozpisać?

PW: A mechanicznie zamienić n na (k+1), to znaczy postawić tezę, że (k+1) < 2^k+1 i udowodnić ją korzystając z założenia indukcyjnego. W 2. niepotrzebne założenie k≥n, powinno być ...

pinokio: k + 1 < 2^k+1 ale nie wiem jak to dalej ? sprawdzić czy z L = P ? ale tutaj jest znak większości/mniejszości

pinokio: ?

pinokio: ?

PW: Jak zwykle − tezę dowodzimy korzystając z założenia: − wiemy z założenia, że k < 2^k, a więc po dodaniu stronami liczby 1 otrzymamy (1) k + 1 < 2^k + 1. Jest oczywiste, że (2) 2^k + 1 < 2^k + 2^k = 2^k+1, zatem z (1) wynika k + 1 < 2^k+1, co kończy dowód tezy indukcyjnej. Zastosowanie zasady indukcji ... itd. Muszę skomentować, że dowód był banalny, łatwiejszych zadań na zastosowanie zasady indukcji nie będzie. Co stało na przeszkodzie, żeby stwierdzić tak prostą rzecz jak (2)? Początkujący pytają w tym miejscu: − A skąd ja niby miałbym być taki mądry? Odpowiedź jast prosta: − A stąd, że wiesz do czego dążyć, w tezie po prawej stronie jest 2^k+1.

pinokio: czemu 1 dodajesz ?

PW: Bo w tezie po lewej stronie jest jedynka − sam to napisałeś o 23:25. Dowód indukcyjny wymaga skorzystania z założenia indukcyjnego − przywołałem je na samym początku, a potem dążę do tego, żeby "zobaczyć" po lewej stronie k+1 (bo jest w tezie indukcyjnej), a po prawej zobaczyć 2^k+1. Jest to rozumowanie typu "co wiem to wykorzystuję" i "patrzę do jakiego wniosku mam dojść".

pinokio: w 2. pownno być k ≥ 1?

PW: Tak, bo dla k = 1 sprawdziliśmy, założenie powinno dotyczyć dowolnej, na czas rozumowania ustalonej, liczby naturalnej większej (lub równej k).

pinokio: ok, dzięki a możesz powiedzieć czy tutaj dobrze rozwiązuje ? : https://matematykaszkolna.pl/forum/289572.html