Sprawdź, że istnieją niewymierne pierwiastki wielomianu W(X)=x^4+2x^3-3x^2+4x-1 Petro-7: Sprawdź, że istnieją niewymierne pierwiastki wielomianu W(X)=x⁴+2x³−3x²+4x−1

PW: Wymiernych nie ma, co sprawdzamy bezpośrednio, korzystając z tw. Bezouta. Twierdzenie Darboux ("niealgebraiczne", ale skuteczne). Można próbować przedstawić wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów.

ICSP: Szukamy pierwiastków, więc rozwiązujemy równanie w(x) = 0 x⁴ + 2x³ + x² = 4x² − 4x + 1 i wszystko jasne

Petro-7: No właśnie sprawdziłem Bezoutem, że nie ma. O tym Darboux nigdy nie słyszałem, ale z tego co czytam to działa w przedziałach, a tu x∊R. Jak miałbym określić jakikolwiek przedział, gdzie W(x)=0? To jest zadanie z rozszerzonego vademecum Operonu 2015. w Odpowiedzi rozbili na (x²+3x−1)(x²−x+1), ale ja widzę ze bym na to nie wpadł, stąd też pytam o jakieś inne sposoby.

pigor: ... , racja PW da się np. tak : w(x)= (x²−x+1)(x²+3x−1) . ...

Petro-7: @ICSP A jak mogę na to wpaść? Praktyka, mam tą smutną rację...?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/288905.html

ICSP: Metoda pozwalająca rozbić dowolny wielomian stopnia IV do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych.

Petro-7: Widzę − link przydatny, dzięki!

pigor: ..., a ja zacząłem od najprostszych , a tu z jego współczynników wynika, że mogą być nimi np. takie trójmiany : w(x)=x⁴+2x³−3x²+4x−1= (x²+ax+1)(x²+bx−1)= ... itd i wyszło mi z równości wielomianów, że a=−1 i b=3, więc trop okazał się dobry ...

Mariusz: ICSP pamiętasz te tematy matematyka.pisz.pl/forum/99243.html matematyka.pisz.pl/forum/98255.html matematyka.pisz.pl/forum/98288.html

ICSP: Dwa pierwsze tak, ostatniego nie za bardzo. Jaki jest cel w ich odświeżaniu ?

Mariusz: Jeśli Petro chce dowiedzieć się jak te równania rozwiązywać to niech je przejrzy a ty możesz powspominać To ja pokazałem Vaxowi ten sposób Sam musiałem wczytywać się w tekst Sierpińskiego bo nikt mi nie chciał pokazać tego

Mariusz: a tu z jego współczynników wynika, że mogą być nimi np. takie trójmiany : w(x)=x4+2x3−3x2+4x−1= (x2+ax+1)(x2+bx−1)= O ile można przyjąć że współczynniki przy x² są jedynkami to wyrazy wolne nie muszą być jedynkami

pigor: : ... , patrz post z godz. 23:21

Mariusz: ICSP podał sposób który jest skuteczny dla każdego równania czwartego stopnia a ja podałem tematy w których Vax mu pokazywał jak takie równania rozwiązywać