Wielomiany A: Zapisz wielomian W(x)=x⁴+2x³+5x²+4x+3 jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia współczynnikach całkowitych dodatnich.

PW: (x²+x+1)(x²+x+3) − nic nie liczyłem, po prostu zgadłem (iloczyn wyrazów wolnych musi być równy 3 − to była podstawa zgadywania, jeszcze to, że iksów do trzeciej ma być dwóch).

Mariusz: Poszukaj wpisów Vaxa na tym forum On pokazywał jak rozwiązywać takie równania

Kacper: Tu nie ma żadnego równania.

ICSP: w(x) = 0 x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x + 3 = 0 x⁴ + 2x³ + x² = x² − 5x² − 4x − 3 (x² + x + y)² = (2y − 4)x² + (2y − 4)x + y² − 3 Chcemy zwinąć lewą stronę do wzoru na kwadrat sumy bądź różnicy, czyli wystarczy warunek Δ = 0 Δ = (2y − 4)² − 4(2y − 4)(y² − 3) = 0 gdy np 2y − 4 = 0 ⇒ y = 2 i mamy: (x² +x + 2)² = 1 (x² + x + 2 − 1)(x² + x + 2 + 1) = 0 (x² + x + 1)(x² + x + 3) = w(x)

ICSP: Napisane w około 2 minuty, chyba szybciej niż schemat Hornera i dzielenie

Mariusz: Jak rozkładałbyś ten wielomian ? Można go przyrównać do zera i wtedy dostaniemy równanie

Gustlik: Ja bym spróbował tak: W(x)=x⁴+2x³+5x²+4^x+3 W(x)=(x²+px+1)(x²+qx+3) = pierwszy wyraz musi być iloczynem x²*x², a ostatni 1*3 Wymnażam nawiasy, porządkuję wielomian i porównuję współczynniki tych samych potęg x na zasadzie badania równości dwóch wielomianów, stąd wyjdzie mi p i q: W(x)=x⁴+qx³+3x²+px³+pqx²+3px+x²+qx+3 W(x)=x⁴+qx³+px³+3x²+pqx²+x²+3px+qx+3 W(x)=x⁴+qx³+px³+4x²+pqx²+3px+qx+3 W(x)=x⁴+(q+p)x³+(4+pq)x²+(3p+q)x+3 Otrzymuję układ równań: { q+p=2 (1) { 4+pq=5 (2) { 3p+q=4 (3) Ponieważ układ ma "za dużo" równań, wybieram 2 najłatwiejsze równania, czyli (1) i (3) i rozwiązuję układ: { p+q=2 { 3p+q=4 /*(−1) { p+q=2 { −3p−q=−4 + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −2p =−2 /:(−2) p=1 1+q=2 q=1 Sprawdzam, czy wyznaczone p i q są rozwiązaniami równania (2), którego nie rozwiązywałem: 4+pq=5 4+1*1=5 5=5, L=P, czyli p=1 i q=1 są rozwiązaniem tego układu, podstawiam je do wielomianu: W(x)=(x²+px+1)(x²+qx+3)=(x²+x+1)(x²+x+3)

PW: Najlepszą metodą jest jednak zgadnąć i sprawdzić. Tylko nie krzyczcie znowu, że zgadywanie to "żadna metoda".

Eta: dla PW Gustlik jak widać .......... preferuje najprostsze metody

Gustlik: Eta, na pewno czasowo szybciej, niż kombinowaniem, jak porozbijać wyrazy, żeby je "zgadnąć" i pogrupować. Tu przynajmniej same wychodzą z obliczeń. W zapisie może dłużej, ale czasowo szybciej, przynajmniej widzę, że jadę dobrą drogą, widzę, co robię. Nie jestem zwolennikiem metod "na wymuszanie", czyli dodawanie czy odejmowanie "na siłę", albo rozbijanie wyrazów w celu ich dopasowania do reszty, no chyba, że metoda "wymuszania" jest jedyną możliwą w danym przypadku. Dla mnie metoda ICSP byłaby bardziej czasochłonna.

PW: Jak widzę rozwiązanie Gustlika, to puchną mi dłonie (taki jakiś − chyba znany psychiatrii − objaw zmęczenia). (x² + (ileś)x + 1)(x² + (ileś)x +3) Co do 1 i 3 nie ma wątpliwości (współczynniki mają być liczbami całkowitymi, a więc albo 1 i 3, albo −1 i −3). To "(ileś)" mogłoby być równe 1, bo wtedy przy wymnażaniu otrzymamy x²·x + x·x² = 2x³. To też tylko jedna z możliwości, ale biorąc pod uwagę, że wszystkie współczynniki wielomianu są dodatnie − niegłupia. Pozostaje tylko sprawdzić, czy (x²+x+1)(x²+x+3) jest szukanym rozkładem. Metoda myślenia zupełnie poprawna − stawiamy hipotezę na podstawie kilku przesłanek i sprawdzamy jej poprawność.

Gustlik: PW Ja tez to widzę, ale uczniowie tego nie zauważają, wolą to obliczać, dlatego podaję ten sposób. Wg mnie jest on prostszy.