Udowodnij, że Techix: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n>=2 prawdziwa jest nierówność:

1		1		1		1		13
	+		+		+...		>=
n		n+1		n+2		n+n		24

PW: Indukcyjnie.

Techix: Czyli po prostu podstawić kilka liczb naturalnych i policzyć tak?

PW: Nie znasz zasady indukcji matematycznej?

Techix: teoretycznie znam, ale nigdy jej nie stosowałem

kix: no to looknij i zastosuj w praktyce https://matematykaszkolna.pl/strona/1357.html

prawiematematyk: Gdyby to było równanie to jak najbardziej z pomocą tego linku co podałeś bym to zrobił jednak tu jest nierówność i dalej nie wiem jak to zrobić. Pomożesz?

Techix: Gdyby to było równanie to jak najbardziej z pomocą tego linku co podałeś bym to zrobił jednak tu jest nierówność i dalej nie wiem jak to zrobić. Pomożesz?

PW: Uznajemy, że sprawdzenie dla n=2 dokonane oraz sformułowane założenie indukcyjne dla n=k. Teza dla n=k+1 brzmi:

1		1		1		1		1		23
	+		+ .... +		+		+		≥		.
n+1		n+2		n + n		n+1+n		n+1+n+1		24

Mamy ją udowodnić korzystając z założenia indukcyjnego. Zauważmy, że po lewej stronie jest

	1
"prawie to samo co w założeniu indukcyjnym" − brakuje tylko pierwszego wyrazu		, który
	n

był w założeniu, ale za to przybyły dwa następne ułamki, których nie było w założeniu:

	1		1
		i		.
	n+1+n		n+1+n+1

Inaczej mówiąc, jeżeli oznaczymy symbolem L lewą stronę założenia, to po lewej stronie tezy mamy

	1		1		1		23		1		1		1
L −		+		+		≥		−		+		+		.
	n		2n+1		2n+2		24		n		2n+1		2n+2

Wystarczy pokazać, że trzy ostatnie składniki dają nieujemną sumę, a to jest zadanie z liceum.

PW: I z rozpędu napisałem wszędzie n zamiast k, ale to chyba nie stanowi przeszkody w zrozumieniu.

Techix:

	1		1		1
Trzy ostatnie składniki czyli: −		,		,		?
	n		2n+1		2n+2

przecież jak się je zsumuje dla dowolnego n naturalnego to dają właśnie ujemną sume.. Przepraszam za moje pytania ale z indukcją mam do czynienia w praktyce po raz pierwszy.

PW: 130226 Już tyle razy to zadanie rozwiązywałem, że zwolniłem się od sprawdzenia, czy dobrą tezę podałeś. Rutyna jest wrogiem myślenia.

	1		1
Wszystko będzie dobrze, jeżeli sumowanie zaczniemy od		, a nie od		i w
	n+1		n

	1
konsekwencji w tezie indukcyjnej od		.
	n+2